Densité de N , Z et Q dans R

[ichigo01]

salut à tous

je sais que Q est dense dans R car entre deux reels qqonque il existe tjrs un rationnel ( demonstration : comme R est arichimedien il existe un q appartenant à N tq q(x-y) > 1 ... ) Pour N et Z : comme il existe toujours 2 reels qqonque entre les quelles en peux pas trouver un entier ( positif ou negatif )

ce que je veux savoir si c'est demonstration son juste et est ce que je peux le demontrer en utilisant la définition de la densité d'un ensemble A dans R : A est dense dans R est équivalent à : ad(A) = R et inter(R\A) = l'ensemble vide ??

Merci d'avance
-----

[ichigo01]

quelques fautes d'orthographe dont je n'ai pas fais attention !!

Il y a personne qui s'interesse à la topologie sur le forum ?? !!

[Universus]

Peut-être est-ce moi qui n'aie les idées vraiment pas claires, mais en quoi est-ce que le fait qu'il existe un entier naturel q tel que pour deux réels x et y (x>y) on ait x-y > 1/q implique l'existence d'un rationnel entre n'importe quels deux réels?

Autrement, si tu as la définition de la densité d'un sous-ensemble dans un autre ensemble, il faut que tu puisses pouvoir démontrer ces propositions à partir de la définition.

Pour , c'est simple : on peut facilement montrer que (puisque n'a que des points isolés, il est fermé et le complément d'un fermé est ouvert et le plus grand ouvert d'un ensemble est son intérieur). Cet ensemble n'étant pas vide, l'ensemble des entiers relatifs n'est pas dense dans les réels.

Pour les rationnels, je ne connais pas la démonstration par cœur et je n'ai pas actuellement l'éveil pour, après quelques temps de réflexion, aboutir à quoique ce soit, alors désolé

[Thorin]

Peut-être est-ce moi qui n'aie les idées vraiment pas claires, mais en quoi est-ce que le fait qu'il existe un entier naturel q tel que pour deux réels x et y (x>y) on ait x-y > 1/q implique l'existence d'un rationnel entre n'importe quels deux réels?

il suffit ensuite de prendre p, le minimum de l'ensemble des {p entiers tq p>qy}, qui existe car N n'est pas majoré dans R.

on a ainsi p/q>y, d'une part, et d'autre part, on a que p-1<qy donc p/q <y +1/q donc p/q < y+x-y=x

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Pardonc, j'ai oublié de répondre à la question initiale : on peut utiliser que Ad(A)=E, et que Interieur(E/A)={}, bien sûr, mais ici, concrètement, ces définitions ne servent pas à grand chose...

[Universus]

Merci Thorin pour la précision.

[ichigo01]

Peut-être est-ce moi qui n'aie les idées vraiment pas claires, mais en quoi est-ce que le fait qu'il existe un entier naturel q tel que pour deux réels x et y (x>y) on ait x-y > 1/q implique l'existence d'un rationnel entre n'importe quels deux réels?

D'abord merci pour ta réponse concernant Z ta démonstration est évidente et juste , pour les rationnels : en faite j'avais pas terminer la demonstration :

il existe un entier naturel ( non nul ) q tel que pour deux réels x et y (x>y) on ait q(x-y) > 1 ( R est Archimèdien ) donc qx - qy > 1 ce qui veux dire que dans l'intervalle [qx , qy] il existe un entier relatif p ( ce que je peux démontrer et pourtant ça me semble triviale ) tel que : qx > p > qy donc : x > p/q > q

r = p/q est un rationnels qui est borné entre deux réels
quelconque , mon raisonnement c'est quelque soit l'intervalle que tu prends dans Q il est borné entre 2 réels c'est à dire que l'adhérence de l'ensemble Q est R ( on prend R intervalle fermé ) ce qui équivalent à dire que Q est dense dans R .