déterminant et polynome

[invited7748c90]

Bonjour,

n'étant pas parvenur à répondre à un exercice mettant en relation déterminant et polynome, je me propose de vous le soumettre ainsi que les pistes et idées que j'ai envisagé.

énoncé:

a₁,..,a_n,b₁,....b_n appartiennent à K tels que pour tout {i,j}, a_i+b_j différent de 0.

On pose delta n= det(1/(a_i+b_j)) avec 1=<i=<n et 1=<j=<n

1) montrer que si les ai ne sont pas tous distint delta n est nulle.

A cette question je répond que si deux ai sont égaux, alors deux lignes de mon déterminant sont similaire. La matrice du déterminant est donc liée et le déterminant est donc nulle.

2) Supposons que les ai sont tous distincts. Montrer qu'il existe c1,...,cn appartenant à K tels que:

R(x)=(b1-x)(b2-x)...(b_n-1-x)/((x+a₁)(x+a₂)...(x+a_n))=c₁/(x+a_a)+c₂/(x+a₂)+....+c_n/(x+a_n)

A cette question, je répondrais que le deg du polynome du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, que le dénominateur est scindé à racine simple et que du coup ma solution peut s'écrire de cette forme.

3) Pour tout k appartenant à {1,..,n}, exprimer c_ken fonction des a_i et des b_j pour en déduire que c_k différent de 0

A cette question, je n'arrive pas à déterminer les valeurs des c_k. Je pense que pour résoudre ce problème, il faut choisir judicieusement la valeur de x dans le polynome ou une méthode de ce genre. en choisissant b₁,..,b_n comme valeur de x dans R(x) j'obtiens aussi n équations dont n-1 sont nulles. Je me demande si ce n'est pas par la que viendra la solution.

Je prie donc mon aimable auditoire sur une voie possible permettant de résoudre cet énoncé.

Merci d'avance.

Anthony
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[invite899aa2b3]

Pour déterminer multiplie par et fais . À droite tu auras et à gauche son expression.

[invited7748c90]

Rebonjour,

Tout d'abord je tiens à vous remercier pour votre réponse que j'ai utilisé et qui m'a permis de résoudre mon problème.

J'obtiens: c_k=(b₁+a_k)...(b_n-1+a_k)/((a₁-a_k)..(a_k-1-a_k)(a_k+1-a_k)...(a_n-a_k))

Je peux donc me heurter à la suite de mon énoncé:

4 Soient L₁,...,L_n les lignes de delta_n.

Montrer que

Delta _n 1/c_nxdet(L₁,...L_n-1,somme( c_k*L_k))

Je dois donc réaliser des opérations sur les lignes de mon déterminant.

Je suppose donc qu'il me faut utiliser des opérations sur les déterminants.

Il ne me semble pas choquant de remplacer la dernière ligne en la somme de c_k fois chacune des lignes. Mais comment faire pour sortir 1/c_n du déterminant.

Je remercie donc mes aimables lecteurs de me faire part de leur idées ou solution à mon problème. A priori, j'arriverai à finir le reste de l'énoncé.

Merci d'avance,

Anthony

[invited7748c90]

Rebonjour,

A la relecture de mon post, il me semble que celui-ci n'est pas très claire, je précise que la transofrmation que l'on me demande d'effectuer dans ma matrice est de transformer la dernière ligne de mon déterminant en la somme de ck fois chacune des lignes Lk et de sortir 1/cn du déterminant.

Merci,

Anthony

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7748c90]

Rebonjour,

Je pense avoir compris d'où vient le c_n. Pour obtenir la dernière ligne. Je fais Ln_n>c_nL_n et je sors 1/c_n de mon déterminant. Puis je fais L_n->c₁L₁+c₂L₂+...+L_n

Qu'en pensez vous?

Merci,

Anthony