Matrice de l'application transposition

[thomas5701]

Bonjour à tous,
Si on pose l'application de Mn(R) dans lui même, qui a toute matrice de Mn(R) donne sa transposition:

Phi(A)=^tA

J'aimerai connaître la matrice de Phi. Pour cela on peut regarder l'image de la base canonique de Mn(R)
Phi(E_i,j)=E_j,i

Cela nous donnerait une matrice de taille n²*n².

Mais alors pour traduire sous forme matricielle Phi(A), il y a un problème de comptabilité, non?

(En fait, il s'agit d'un exercice, montrer que Phi est diagonalisable)

Je vous remercie d'avance ! Bonne journée !
Cordialement, Thomas5701
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[Tiky]

Bonjour,

Qu'entends-tu par problème de compatibilité ?
Par exemple si tu considères , alors l'application linéaire dans la base canonique de est :


Tu généralises sans problème à des matrices carrées d'ordre n.

[thomas5701]

En appelant M la matrice de l'application transposition, et pour A€ Mn(R) on devrait avoir:

MA=tA mais le produit matriciel ne pourrait pas marcher.

Je ne vois pas trop pourquoi en fait !
Merci de ta réponse rapide

[Tiky]

Ton raisonnement est faux.
Il ne faut pas confondre le vecteur A (une matrice), éléments de l'espace vectoriel et le vecteur u, éléments de l'espace vectoriel donnant les coordonnées du vecteur A dans la base canonique de .

La relation matricielle est donc où M est la matrice de l'application linéaire transposition et v est le vecteur de donnant les coordonnées de la matrice transposée dans la base canonique de .

Pour ce qui est de diagonaliser la matrice M, tu peux commencer par déterminer cette matrice pour la transposition dans et réordonner les éléments de la base canonique de manière intelligente.

[A voir en vidéo sur Futura]

[thomas5701]

Je publie tout de même l'énoncé de l'exercice, il faut montrer que phi est diagonalisable, calculer sa trace et son déterminant.

Méthode que je propose:
On peut montrer que Phi est une symétrie (Phi²=Id), ce qui donne une matrice symétrique, de plus réelle. Phi est donc diagonalisable.
En écrivant la matrice, les seuls éléments sur la diagonale sont les matrices inchangé par la transposition pour la base Ei,j. Il y en a donc n.

La trace vaut n.

Pour le déterminant, peut-on conclure directement, car c'est une symétrie orthogonale ? (donc le déterminant -1)

[thomas5701]

D'accord, ce que je ne comprenais pas trop c'est ce que j'ai dit avec le produit matriciel. Je savais pas vraiment d'où venait l'incompatibilité. Je suis donc fixé merci !
L'énoncé proposait uniquement de montrer que phi est diagonalisable.

Encore merci de ta réponse claire et rapide !

[invite39876]

Bonjour!
Peut etre une manière un peu plus astucieuse (disons moins calculatoire) de prouver la diagonalisabilité de Phi, est de se rappeler que un endomorphisme est digonalisable si l'espace est somme directes de sous espace propres, et que tu dois savoir que M(n,K)=S(n,K)somme directe AS(n,K) (ou S sont les matrices symetriques, et AS les anitsymetriques.)

[Tiky]

Oui en utilisant le fait qu'il s'agit d'une matrice symétrique réelle, il est trivial qu'elle est diagonalisable. Maintenant tu peux aussi utiliser des endomorphismes induits pour arriver à la même conclusion.

Soit l'endomorphisme transposition de et la base canonique de cet espace.

Soit et pour tous i et j tels que , . Je note et

Alors j'affirme que est une base de .

On remarque est un endomorphisme induit dont la matrice dans la base est .

De même est un endomorphisme induit dont la matrice dans la base est :

Cet endomorphisme induit est diagonalisable dans . Ses valeurs propres sont 1 et -1. Son déterminant est -1. Et sa trace 0.


En conclusion est diagonalisable dans . Ses valeurs propres sont 1 et -1. Son déterminant est et non -1. Sa trace est n.

[thomas5701]

Effectivement, c'est plus astucieux ! Il suffit de dire que AS(n,R) est le sous espace propre associé à la valeur propre -1, et S(n,R) à la valeur propre 1. Puis le reste découle de ce que tu as dis !

Merci de la réponse détaillé Tiky ! T'as été d'une grande aide !