Complété d'un ensemble

[invite9b650739]

bonjour à tous,
voila je cherche quelques propriétés du complété d'un ensemble ; qui est l'ensemble qui contient l'ensemble ainsi que toutes ses limites de Cauchy , (appelons le
comme par exemple : est qu'il existe une relation au sens de entre et
et si F est complet que peut on dire sur

Merci pour vos réponses et bonne journée à tous...
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[Seirios]

Bonjour,

voila je cherche quelques propriétés du complété d'un ensemble ; qui est l'ensemble qui contient l'ensemble ainsi que toutes ses limites de Cauchy , (appelons le

Le complété d'un ensemble n'existe pas. Pour parler d'un complété, il faut nécessairement avoir une structure uniforme. Ici, je suppose qu'il est question d'espace métrique, donc il serait moins maladroit de parler de complété d'un espace métrique.
Ensuite, l'expression "l'ensemble qui contient l'ensemble ainsi que toutes ses limites de Cauchy" n'a pas vraiment de sens en l'état, même si l'on voit de quoi il est question.

comme par exemple : est qu'il existe une relation au sens de entre et
et si F est complet que peut on dire sur

On peut considérer qu'un espace métrique est dense dans son complété, donc l'adhérence de F dans est .
Ensuite, si F est complet, ( et F sont isomorphe pour être précis) ; cela se voit dans la construction du complété : un point de est une classe de suites convergeant vers un même point de F.

[invite9b650739]

bonjour,
Oui vous avez raison , j'aurai du préciser que c'est dans un espace métrique;
j'avais voulu connaitre ses propriétés parce que j'ai trouvé cette définition, E espace séparé ,
F est pré-compacte si son complété est compacte,

et je veux démontrer que si E est complet et
Alors relativement compacte pré-compact

[Seirios]

Oui vous avez raison , j'aurai du préciser que c'est dans un espace métrique;
j'avais voulu connaitre ses propriétés parce que j'ai trouvé cette définition, E espace séparé ,
F est pré-compacte si son complété est compacte,

Cette définition est celle que l'on utilise dans les espaces uniformes (on voit bien que si l'on précise que E doit être séparé, c'est que l'on n'est plus dans le cas métrique).

et je veux démontrer que si E est complet et
Alors relativement compacte pré-compact

Je note l'adhérence de F dans E. Alors F est relativement compact dans E ssi est compact. Or est un complété de F, donc il existe un isomorphisme entre et , donc est compact ssi compact. Tu as ainsi ta propriété en utilisant la définition ci-dessus.

(Remarque que cette propriété est vraie pour tout espace uniforme, et pas seulement dans le cas métrique.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b650739]

oui je vois maintenant,merci pour votre réponse
Mais j'ai une autre question, on a pas utiliser le fait que "E" est complet,
ou ce n'est pas nécessaire...
Merci encore...

[Seirios]

E doit être complet pour pouvoir dire que est un complété de F, puisqu'un fermé dans un complet est complet.

[invite9b650739]

Ah oui c'est vrai,
Je vous remercie pour votre aide, et bonne journée...

[invite9b650739]

Ah oui c'est vrai,
Je vous remercie pour votre aide, et bonne journée...