Dimension fractale d'une courbe

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais déterminer la dimension fractale de la courbe construite en poursuivant indéfiniment les quatre étapes que j'ai mises en pièce jointe.

J'ai essayé de déterminer sa dimension de Minkowski, mais j'ai lu que l'on doit trouver un résultat différent de 1 alors que c'est ce que je trouve :

Il me semble que (en utilisant les notations du lien), d'où la dimension d=1...

J'ai pensé que je ne m'y prenais pas de la bonne manière, mais avec la même méthode, je trouve un résultat correct pour le flocon de Koch.

Qu'en pensez-vous ? Cette courbe est-elle vraiment de dimension 1 ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite9617f995]

Bonjour,

Si j'ai bien compris la façon dont on calcule N, il me semble que N(1/2ⁿ) n'est pas égal à 2ⁿ. Dans ce cas on ne "remplirait" que les cases à la frontière du triangle. En fait, en quadrillant le n-ième triangle par des carrés de côté 1/2ⁿ et en comptant diagonale par diagonale, j'ai l'impression que :


On doit alors sans doute trouver une dimension de 2.

Silk

[invite9617f995]

Arff, je viens de me rendre compte qu'en fait tu parlais de la courbe et non du triangle, donc je raconte n'importe quoi désolé ... si un modérateur pouvait effacer ce j'ai dit, ça serait bien

Par contre, dans l'article de Wikipédia, il y a des exemples d'ensemble dont les dimensions sont égales à 1.

[Seirios]

J'ai trouvé un lien où il est marqué que le facteur de similarité vaut 2, et le facteur d'homothétie 4, d'où une dimension fractale de .
Je ne vois pas comment trouvé le facteur d'homothétie de 4, pour moi il vaut 2, non ? De plus, puisque la longueur de cette courbe vaut 2 et que la diagonale a une longueur de , il me semblerait que la dimension fractale devrait être supérieure à 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03f2c9c5]

La courbe limite est un segment de droite, non ? Normal qu’il soit de dimension un il me semble…

La longueur de la courbe limite ne vaut pas 2 (la longueur ne passe pas à la limite, la fonction « longueur » n’est pas continue).

[azt]

Bonjour,
Je peux me tromper sur les termes, cela fait longtemps tout ça :

Le facteur de similarité vaut bien 2 : A partir d'une marche on en construit 2.
Le facteur d'homothétie vaut aussi 2 : La copie est 2 fois plus petite que l'original.

Donc la dimension de ton objet est bien de 1.

D'ailleurs intuitivement si tu continues le processus à l'infini, ta courbe ne s'étale pas sur le plan comme le flocon de Von Koch, elle tend vers une ligne droite.

Par contre si une fractale a tendance à remplir totalement le plan, elle sera de dimension 2.
Entre ces deux extrêmes, on doit pouvoir trouver des courbes de toutes les dimensions intermédiaires entre 1 et 2.

[Seirios]

C'est bien ce que je pensais, merci.