Dimension fractale.

[philname]

J'ai une simple formation bac+2, donc pour moi les maths c'est vraiment basique et pas de mon quotidien.

Sinon je suis entrains d'étudier les fractals, introduit surtout par Mandelbrot avec sa célèbre équation.

Seulement, je ne comprend pas trop le concept de dimension "fractale".
Comment cela se fait qu'une dimension peut être de 2.5 , c'est à dire un chiffre avec des virgule.

Donc dans une dimension fractal, parler de points cartésiens n'a plus de sens. Donc ni même les longueurs entre les points vu que l'on ait pas dans un repère cartésien.
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[invite8ef897e4]

Bonjour,

je ne suis pas mathematicien, donc je peux raconter des betises. Le cas echeant, j'espere que quelqu'un de plus competent viendra me corriger.

Il faut garder a l'esprit qu'il n'existe pas une unique definition de la dimension (il n'est donc pas evident qu'elles coincident). On peut faire des fractales dans un plan, et pour repondre a

Donc dans une dimension fractal, parler de points cartésiens n'a plus de sens. Donc ni même les longueurs entre les points vu que l'on ait pas dans un repère cartésien.

on peut toujours introduire un repere cartesien dans le plan. Tous les objets contenus dans le plan on une dimension topologique (au plus egale a) 2. La dimension topologique est toujours un entier.

Une autre definition de la dimension est celle de Hausdorff(–Besicovitch). Elle correspond grosso-modo a la dimension de recouvrement de l'objet. Plus precisement, elle est definie comme l'exposant selon lequel le volume (generalise, cela peut etre une surface) augmente lorsque la taille augmente (la generalisation consiste a prendre le plus petit exposant possible majorant la croissance du volume). Pour les objets "ordinaires" cette dimension coincide avec la dimension topologique. Ce qui rend les objets fractales remarquables, c'est qu'elle ne coincide par avec la dimension topologique. Un objet de dimension tolopologique 1 (une courbe) peut avoir une dimension de Hausdorff–Besicovitch 2 (elle remplit le plan) : c'est le cas du bord de l'ensemble de Mandelbrot ou bien des ensembles de Julia.

Il existe aussi des multifractales dont la dimension de Hausdorff–Besicovitch n'est pas constante.

Il existe d'autres definitions, par exemple algebriques.

[invite986312212]

bonjour,

la dimension fractale est liée à la mesure de Hausdorff, dont la définition est un peu technique, mais qui a été introduite par Hausdorff pour donner une mesure à des ensembles vus comme de mesure nulle au sens classique (je développerai si tu veux).
Dans la théorie classique, qui remonte aux Grecs, la mesure d'une surface est une extension de la mesure d'un rectangle, elle-même le produit des mesures de ses côtés, et de même la mesure d'un volume est une extension (par sommation éventuellement infinie = intégration) de la mesure d'un parallèlépipède, elle-même le produit des mesures de ses côtés. Si tu multiplies par a les mesures des côtés d'un rectangle, la surface est muultipliée par a^2, de même pour un cube, c'est par a^3.
Dans le cas de la mesure de Hausdorff, et pour certains ensembles, on constate que si on les transforme par une homothétie de rapport a, leur mesure de Hausdorff est multipliée par a^d, où d n'est pas nécessairement entier. C'est ce d qu'on appelle dimension de Hausdorff (ou fractale) par analogie avec la théorie classique.