Topologie

[math123]

Bonjour,

Voila je ne comprend pas pourquoi une intersection ouverte est un ouvert car selon moi je ne vois pas de possible boule ouverte incluse dedans car on travaille sur des portions de droite.

Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Par définition d'une topologie, toute intersection finie d'ouverts est ouverte. Mais cela n'est en général plus vrai pour une intersection quelconque, par exemple n'est pas ouvert.

[invite00970985]

Bonjour,

Voila je ne comprend pas pourquoi une intersection ouverte est un ouvert car selon moi je ne vois pas de possible boule ouverte incluse dedans car on travaille sur des portions de droite.

Merci.

Si ta question concerne le mot "boule", il faut voir que ce n'est que du vocabulaire ; on utilise ce terme qu'on travaille dans le plan, l'espace ou la droite. Par exemple, l'intervalle ]-1,1[ n'est rien d'autre que la boule ouverte B(0,1) de IR.

[invite1228b4d5]

Salut

un petit exemple d'intersection d'ouvert :
On se place sur la droite des réels
On considère deux ouvert : et
On a et il s'agit bien d'un ouvert de .

Maintenant, dans le cas général:
On se place sur un espace E et on considère deux ouvert A et B.
On considère l'intersection de ces deux partie : Soit .
comme x est dans A et que A est ouvert, il existe a>0 telle que la boule ouverte centré en x et de rayon a soit incluse dans b
Comme x est dans B, il existe b>0 telle que la boule ouverte centré en x et de rayon b soit incluse dans B

Prenons c, le minimum de a et de b, on a que la boule ouverte centré en x et de rayon c est incluse dans A et dans B donc dans .
Ceci montre que est un ouvert de E.

Pour une intersection finie d'ouvert, il suffit alors de procédé par récurrence.

[A voir en vidéo sur Futura]