Topologie

[invite572ebd1a]

Bonjour,
je n'arrive pas à trouver deux fermés A et B de R^n tels que A+B ne soit pas fermé, pouvez-vous m'aider svp?
Merci
-----

[invited5b2473a]

Normal que tu n'y arrives pas : soit An +Bn une suite de A+B qui converge vers un certain C. Alors, cette suite est bornée, donc elle admet une valeur d'adhérence dans A+B. Or notre suite converge donc admet une unique valeur d'adhérence. Donc, C est dans A+B. Et A+B est fermé.

[invite572ebd1a]

pourquoi la suite est bornée?

[invite78df7f0b]

Parce qu'elle converge.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite572ebd1a]

Mais elle converga obligatoirement?

[invitefcdf698a]

Bonjour Minidiane,

peut-être connaissez vous le résultat suivant:
Si A est fermé et B compact (c'est à dire que de toute suite de B on peut extraire une suite convergente dans B), alors A+B est fermé.
C'est un bon exercice à faire, l'idée est que pour toute suite (an +bn) convergente dans A+B, on peut "forcer" la convergence de bn dans B, et en déduire la convergence de an dans A.


Pour trouver un contrexemple à A+B fermé, il faut donc prendre pour A et B des fermés non bornés (car non compacts).
Un fermé non borné classique dans les contre-exemples de topologie est la branche d'hyperbole
.

L'idée est de prendre des ensembles A et B tels qu'une suite an+bn puisse converger sans pour autant que an et bn (ou toute suite extraite) convergent.

Prenons
.
et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses:
.

L'ensemble A+B est compliqué a priori mais on voit qu'il est contenu dans le demi plan droit strict
.
Il ne contient donc pas (0,0).

Montrons que (0,0) appartient à l'adhérence de A+B.
On prend les suites an=(1/n, n) et bn=(1/n,-n).
On voit que an+bn= (2/n, 0) donc ces éléments sont arbitrairement proches de (0,0).
Mais .
Conclusion: A+B n'est pas fermé

[invite78df7f0b]

Normal que tu n'y arrives pas : soit An +Bn une suite de A+B qui converge vers un certain C. Alors, cette suite est bornée, donc elle admet une valeur d'adhérence dans A+B. Or notre suite converge donc admet une unique valeur d'adhérence. Donc, C est dans A+B. Et A+B est fermé.

On ne sait pas que la valeur d'adhérence en question est dans A+B.

[invite572ebd1a]

Merci jacky07 je pense avoir compris merci beaucoup

[invite35452583]

Le contre-exemple a l'avantage d'être un contre-exemple il a le désavantage d'être compliqué.
On peut trouver dans R lui-même.
A=éléments d'une suite an convergeant vers +infini.
B={-an+un} avec un qui converge vers 0.
On devine la suite de A+B qui converge vers 0.
Reste à se débrouiller pour que 0 ne soit pas dans A+B={am+bn+un} pour cela il suffit que inf(lam+bnl; m et n distincts)>sup(un) et que les un soient non nuls. Ce n'est pas difficile de choisir an, bn et un pour que cela soit trivialement vérifié.

[invited5b2473a]

Normal que tu n'y arrives pas : soit An +Bn une suite de A+B qui converge vers un certain C. Alors, cette suite est bornée, donc elle admet une valeur d'adhérence dans A+B. Or notre suite converge donc admet une unique valeur d'adhérence. Donc, C est dans A+B. Et A+B est fermé.

Oups dsl j'ai fait une petite erreur. Au temps pour moi!

[invite572ebd1a]

ok merci homotopie et c'est pas grave indian