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Topologie



  1. #1
    minidiane

    Unhappy Topologie


    ------

    Bonjour,
    je n'arrive pas à trouver deux fermés A et B de R^n tels que A+B ne soit pas fermé, pouvez-vous m'aider svp?
    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    indian58

    Re : Topologie

    Normal que tu n'y arrives pas : soit An +Bn une suite de A+B qui converge vers un certain C. Alors, cette suite est bornée, donc elle admet une valeur d'adhérence dans A+B. Or notre suite converge donc admet une unique valeur d'adhérence. Donc, C est dans A+B. Et A+B est fermé.

  4. #3
    minidiane

    Re : Topologie

    pourquoi la suite est bornée?

  5. #4
    GaryO

    Re : Topologie

    Parce qu'elle converge.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    minidiane

    Re : Topologie

    Mais elle converga obligatoirement?

  8. #6
    jacky07

    Re : Topologie

    Bonjour Minidiane,

    peut-être connaissez vous le résultat suivant:
    Si A est fermé et B compact (c'est à dire que de toute suite de B on peut extraire une suite convergente dans B), alors A+B est fermé.
    C'est un bon exercice à faire, l'idée est que pour toute suite (an +bn) convergente dans A+B, on peut "forcer" la convergence de bn dans B, et en déduire la convergence de an dans A.


    Pour trouver un contrexemple à A+B fermé, il faut donc prendre pour A et B des fermés non bornés (car non compacts).
    Un fermé non borné classique dans les contre-exemples de topologie est la branche d'hyperbole
    .

    L'idée est de prendre des ensembles A et B tels qu'une suite an+bn puisse converger sans pour autant que an et bn (ou toute suite extraite) convergent.

    Prenons
    .
    et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses:
    .

    L'ensemble A+B est compliqué a priori mais on voit qu'il est contenu dans le demi plan droit strict
    .
    Il ne contient donc pas (0,0).

    Montrons que (0,0) appartient à l'adhérence de A+B.
    On prend les suites an=(1/n, n) et bn=(1/n,-n).
    On voit que an+bn= (2/n, 0) donc ces éléments sont arbitrairement proches de (0,0).
    Mais .
    Conclusion: A+B n'est pas fermé
    Dernière modification par jacky07 ; 20/10/2007 à 18h58.

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  10. #7
    GaryO

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Normal que tu n'y arrives pas : soit An +Bn une suite de A+B qui converge vers un certain C. Alors, cette suite est bornée, donc elle admet une valeur d'adhérence dans A+B. Or notre suite converge donc admet une unique valeur d'adhérence. Donc, C est dans A+B. Et A+B est fermé.
    On ne sait pas que la valeur d'adhérence en question est dans A+B.

  11. #8
    minidiane

    Re : Topologie

    Merci jacky07 je pense avoir compris merci beaucoup

  12. #9
    homotopie

    Re : Topologie

    Le contre-exemple a l'avantage d'être un contre-exemple il a le désavantage d'être compliqué.
    On peut trouver dans R lui-même.
    A=éléments d'une suite an convergeant vers +infini.
    B={-an+un} avec un qui converge vers 0.
    On devine la suite de A+B qui converge vers 0.
    Reste à se débrouiller pour que 0 ne soit pas dans A+B={am+bn+un} pour cela il suffit que inf(lam+bnl; m et n distincts)>sup(un) et que les un soient non nuls. Ce n'est pas difficile de choisir an, bn et un pour que cela soit trivialement vérifié.

  13. #10
    indian58

    Re : Topologie

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Normal que tu n'y arrives pas : soit An +Bn une suite de A+B qui converge vers un certain C. Alors, cette suite est bornée, donc elle admet une valeur d'adhérence dans A+B. Or notre suite converge donc admet une unique valeur d'adhérence. Donc, C est dans A+B. Et A+B est fermé.
    Oups dsl j'ai fait une petite erreur. Au temps pour moi!

  14. #11
    minidiane

    Re : Topologie

    ok merci homotopie et c'est pas grave indian

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