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Topologie, "séparabilité"



  1. #1
    Quinto

    Topologie, "séparabilité"


    ------

    Salut,
    que pensez vous de l'énoncé suivant:

    "un espace reflexif est faiblement complet"

    J'aurais eu envie de dire qu'il devait forcément être au moins séparable, sinon la topologie faible (ou faible *) n'est pas métrisable. (en fait elle ne l'est pas même si l'ensemble est séparable, mais toute boule l'est).

    Je pose cette question parce que j'ai été confronté à la démonstration de ce résultat, que je pense faux.

    Cordialement,
    Quinto

    -----

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  3. #2
    Quinto

    Re : Topologie, "séparabilité"

    Heu, en fait je tiens à ajouter que la topologie faible n'étant pas métrisable, n'implique pas que l'on ne peut pas, en général, être faiblement complet. Ici, on donne la définition de complétude de la manière suivante:

    l'idée de savoir si la topologie faible est métrisable, est utile pour ensuite appliquer le théorème d'Alaoglu sur la compacité de la boule unité * et extraire une sous suite convergente, et donc appliquer les résultats classiques de topologie des espaces métriques.

    Cordialement,
    Quinto

  4. #3
    Quinto

    Re : Topologie, "séparabilité"

    Ok, je vais la refaire, parce que peut être que ca intéresse des gens et qu'ils n'ont pas compris la question (ou ca n'intéresse vraiment personne??):

    Si on a un espace X, on sait que X* a sa boule unité qui est faiblement-* compact (théorème d'Alaoglu).
    Si on a un espace reflexif X, alors c'est équivalent à dire que X a sa boule unité faiblement compact.
    Notamment, si la topologie faible sur la boule unité est métrisable, on peut dire que l'on a équivalence entre compacité est séquentielle compacité.
    Notamment, toute suite de Cauchy qui possède une valeur d'adhérence est convergente, et donc toute suite de Cauchy converge. Finalement, la boule unité est complète.
    Cependant, pour que la topologie faible soit métrisable sur chacune des boules de l'espace il faut (et il suffit) que X soit séparable, ce qui n'est pas forcément le cas.

    Donc si X est reflexif et séparable, X est faiblement complet.

    Mais si X est simplement refléxif, peut on conclure par un autre chemin?

    Cordialement.
    Quinto

  5. #4
    moijdikssékool

    Re : Topologie, "séparabilité"

    jvais dire une connerie mais bon, c'est pour relancer la discuss
    reflexif => il existe une bijection entre E et E" complet => E est complet => E est faiblement complet

    rigolez pas, ca fait une paille que j'ai pas fait de topo

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Quinto

    Re : Topologie, "séparabilité"

    Ok c'est pas mal ce que j'aurai eu envie de dire aussi, mais l'implication:
    complet -> faiblement complet n'est pas aussi triviale qu'elle n'y parrait.

    J'avais justement résolu mon problème de tête, avec cet argument, et puis avec une craie et un tableau, c'est moins évident finalement.

    On a que pour tout e>0, il existe N tel que p,q>N implique
    |<x*,xp-xq>|<e
    pour tout x* de X*.
    Sauf que là on a deux inégalité que l'on arrive pas forcément à mettre ensemble:
    |<x*,xp-xq>| < ||x*|| ||xp-xq|| et après?

  8. #6
    moijdikssékool

    Re : Topologie, "séparabilité"

    On a que pour tout e>0, il existe N tel que p,q>N implique
    |<x*,xp-xq>|<e pour tout x* de X*
    ca c'est ce que l'on veut montrer en sachant que (xk)k est de cauchy convergente, à une différence près, c'est que x* se trouve avant e (à moins que c'est ce que tu aies voulu dire)
    à ce moment là (xk)k est faiblement de cauchy convergente et alors tu peux reprendre
    |<x*,xp-xq>| < ||x*|| ||xp-xq|| et prendre e en fonction de ||x*||

    sinon, convergence forte implique convergence faible devrait être synonyme de complet implique faiblement complet, non?
    je n'ai pas vérifié non plus si une bijection conserve les propriétés de complétude. Elle est linéaire?
    et l'histoire du bidual complet est un vague souvenir

    si tu as tout vérifié...

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