Equation matricielle

[invite652ff6ae]

Bonjour, j'aimerais un peu d'aide pour l'exercice suivant.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Déterminer toutes les matrices M de M_2(R) telles que
M^n = 2 3 = A
4 6

J'ai diagonalisé A, qui est donc semblable à la matrice 0 0
0 8

En appelant u l'endomorphisme canoniquement associé à M, on doit donc avoir dans la base de diagonalisation (e1,e2) de A que u^n (e1) = 0 et u^n(e2) = 8 e1

Mais je vois pas comment en déduire une condition sur u...

Merci
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[Tiky]

Bonjour,

Tu es sur la bonne voie. Tu sais qu'il existe une matrice inversible telle que avec .

Donc .

Tu en déduis que dans une base diagonalisation de , la matrice s'écrit : .

D'où

[Seirios]

(Avec une racine n-ième de 8, bien sûr.)

[Tiky]

(Avec une racine n-ième de 8, bien sûr.)

Oui, en fait il faudrait distinguer le cas pair et le cas impair. Il a bien précisé que la matrice devait être réelle. Il y a donc une racine si n est impaire et deux si n est paire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite652ff6ae]

Merci, on est donc ramené à résoudre :

.

Il est clair que la matrice donnée
convient, cependant comment montrer que c'est la seule ?

En effet, en cherchant M sous forme diagonale, il est clair que M doit être de cette forme, mais si M n'est pas diagonale.. ?

[Tiky]

Bonsoir,

Tout d'abord, comme la fait remarquer Seirios, ce n'est pas la seule. Tu as deux cas :

- si n est pair, les solutions sont exactement et

- si n est impair, il y a une unique solution

Ensuite je n'ai nullement supposer que M était diagonalisable. Il s'avère que le fait que A soit diagonalisable implique que M le sera également. C'est parce que les valeurs propres de A ont le bon goût d'être toutes positives.

[invite652ff6ae]

Bonsoir,

Tout d'abord, comme la fait remarquer Seirios, ce n'est pas la seule. Tu as deux cas :

- si n est pair, les solutions sont exactement et

- si n est impair, il y a une unique solution

Ensuite je n'ai nullement supposer que M était diagonalisable. Il s'avère que le fait que A soit diagonalisable implique que M le sera également. C'est parce que les valeurs propres de A ont le bon goût d'être toutes positives.

Il faut plutôt que les valeurs propres de A soit toutes strictement positives non ?

[Tiky]

Dans le cas général, il faut que toutes les valeurs propres soient strictement positives mais ici ce n'est pas nécessaire.

Il suffit de montrer que admet deux valeurs propres distinctes. En dimension 2, c'est une condition suffisante pour être diagonalisable.

- il est clair que 0 est valeur propre de . Si ce n'était pas le cas, serait inversible, donc aussi or 0 est valeur propre de .

- 0 ne peut être l'unique valeur propre de . Si c'était le cas serait un polynôme annulateur de . Autrement dit serait nilpotent d'ordre 2. Si , c'est impossible puisque alors et donc .
Si , la solution est évidente.

[invite652ff6ae]

Merci, mais il faut que M soit diagonale et non diagonalisable sinon je ne vois pas comment trouver M

[Tiky]

Il est temps d'achever tes doutes.

Si est une valeur propre associée à pour la matrice , alors :


Autrement dit si est valeur propre de , alors est valeur propre de et x est aussi un vecteur propre de .

On se place dans une base de diagonalisation de . Or dans cette base de diagonalisation, est aussi diagonale. Le reste est évident.

[invite652ff6ae]

Merci beaucoup