Equation matricielle

invite652ff6ae · 27/06/2011, 20h06

Bonjour, j'aimerais un peu d'aide pour l'exercice suivant.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Déterminer toutes les matrices M de M_2(R) telles que
M^n = 2 3 = A
4 6

J'ai diagonalisé A, qui est donc semblable à la matrice 0 0
0 8

En appelant u l'endomorphisme canoniquement associé à M, on doit donc avoir dans la base de diagonalisation (e1,e2) de A que u^n (e1) = 0 et u^n(e2) = 8 e1

Mais je vois pas comment en déduire une condition sur u...

Merci

**Tiky** · 27/06/2011, 20h53

Bonjour,

Tu es sur la bonne voie. Tu sais qu'il existe une matrice $\text{[math]}$ inversible telle que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ .

Tu en déduis que dans une base diagonalisation de $\text{[math]}$ , la matrice $\text{[math]}$ s'écrit : $\text{[math]}$ .

D'où $\text{[math]}$

**Seirios** · 28/06/2011, 09h03

(Avec $\text{[math]}$ une racine n-ième de 8, bien sûr.)

**Tiky** · 28/06/2011, 09h10

Envoyé par Seirios (Phys2)

(Avec $\text{[math]}$ une racine n-ième de 8, bien sûr.)

Oui, en fait il faudrait distinguer le cas pair et le cas impair. Il a bien précisé que la matrice devait être réelle. Il y a donc une racine si n est impaire et deux si n est paire.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite652ff6ae · 28/06/2011, 14h26

Merci, on est donc ramené à résoudre :

$\text{[math]}$ .

Il est clair que la matrice donnée
$\text{[math]}$ convient, cependant comment montrer que c'est la seule ?

En effet, en cherchant M sous forme diagonale, il est clair que M doit être de cette forme, mais si M n'est pas diagonale.. ?

**Tiky** · 28/06/2011, 21h02

Bonsoir,

Tout d'abord, comme la fait remarquer Seirios, ce n'est pas la seule. Tu as deux cas :

- si n est pair, les solutions sont exactement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

- si n est impair, il y a une unique solution $\text{[math]}$

Ensuite je n'ai nullement supposer que M était diagonalisable. Il s'avère que le fait que A soit diagonalisable implique que M le sera également. C'est parce que les valeurs propres de A ont le bon goût d'être toutes positives.

invite652ff6ae · 29/06/2011, 09h58

Envoyé par Tiky

Bonsoir,

Tout d'abord, comme la fait remarquer Seirios, ce n'est pas la seule. Tu as deux cas :

- si n est pair, les solutions sont exactement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

- si n est impair, il y a une unique solution $\text{[math]}$

Ensuite je n'ai nullement supposer que M était diagonalisable. Il s'avère que le fait que A soit diagonalisable implique que M le sera également. C'est parce que les valeurs propres de A ont le bon goût d'être toutes positives.

Il faut plutôt que les valeurs propres de A soit toutes strictement positives non ?

**Tiky** · 29/06/2011, 11h09

Dans le cas général, il faut que toutes les valeurs propres soient strictement positives mais ici ce n'est pas nécessaire.

Il suffit de montrer que $\text{[math]}$ admet deux valeurs propres distinctes. En dimension 2, c'est une condition suffisante pour être diagonalisable.

- il est clair que 0 est valeur propre de $\text{[math]}$ . Si ce n'était pas le cas, $\text{[math]}$ serait inversible, donc $\text{[math]}$ aussi or 0 est valeur propre de $\text{[math]}$ .

- 0 ne peut être l'unique valeur propre de $\text{[math]}$ . Si c'était le cas $\text{[math]}$ serait un polynôme annulateur de $\text{[math]}$ . Autrement dit $\text{[math]}$ serait nilpotent d'ordre 2. Si $\text{[math]}$ , c'est impossible puisque alors $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , la solution est évidente.

invite652ff6ae · 29/06/2011, 17h40

Merci, mais il faut que M soit diagonale et non diagonalisable sinon je ne vois pas comment trouver M

**Tiky** · 29/06/2011, 18h12

Il est temps d'achever tes doutes.

Si $\text{[math]}$ est une valeur propre associée à $\text{[math]}$ pour la matrice $\text{[math]}$ , alors :
$\text{[math]}$

Autrement dit si $\text{[math]}$ est valeur propre de $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est valeur propre de $\text{[math]}$ et x est aussi un vecteur propre de $\text{[math]}$ .

On se place dans une base de diagonalisation de $\text{[math]}$ . Or dans cette base de diagonalisation, $\text{[math]}$ est aussi diagonale. Le reste est évident.

invite652ff6ae · 29/06/2011, 19h58

Merci beaucoup

Equation matricielle