Fonction convexe et gradient

[Tiky]

Bonjour,

J'ai une difficulté à répondre à l'exercice suivant.
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie n muni du produit scalaire euclidien .
A une matrice non-nulle d'ordre n à coefficient réel telle que . Enfin un réel et f un vecteur de .

Je dois montrer que est convexe sur .
J'ai préalablement démontré qu'une fonction est convexe sur si et seulement si

Je commence donc par calculer un développement limité d'ordre 2 de la fonction en u.





Je trouve donc et .

Maintenant je ne vois pas pourquoi
est diagonalisable dans mais je ne vois pas pourquoi ses valeurs propres seraient positives.

Merci de votre aide.
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[invite9617f995]

Bonjour,

On a pour tout h appartenant X :

qui est donc positif

(on prouve en fait que A*A a toujours toutes ses valeurs propres positives par la même méthode)

Silk

[Tiky]

En fait c'est tout simple. Je n'avais pas fait attention mais , c'est juste la matrice de Gram associée à A. Les valeurs propres sont positives et il s'en suit que la fonction est convexe et même ici strictement convexe.
Edit : j'ai écrit le message avant que tu répondes, merci quand même .

Ce n'est pas le fait que la quantité soit positive qui me gênait en fait mais le fait que pour qu'elles soient positives, il fallait que toutes les valeurs propres de la matrice en question soient positives. Je pensais que mon calcul était faux.