Application linéaire(concrètement)

[invite5d711f95]

Bonsoir,
Selon la définition,

Soit V,W 2espaces vectoriels réels et soit L:V->W une fonction.
La fonction L est un application linéaire si pour tout , ЄV et pour tout α Є on a:

1. L(α.)=α.L()
2.L(+)=L()+L()

Donc que signifie concrètement Application linéaire, svp?
Une fonction je vois clairement ce que c'est, mais appl. lin....???
Comment différencier un fonction et un application linéaire?

merci d'avance pour vos réponses.
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[invite371ae0af]

jusqu'à présent je n'ai jamais eu à différencier une fonction d'une application linéaire, on te le dit dans l'énoncé

personnellement je dirais qu'une application linéaire est une fonction: par exemple
f: R^3-->R
(x,y,z)-->x+y-z

cependant pour qu'une fonction soit linéaire, il faut vérifier les 2 lois que tu as citées

[invite029139fa]

Ce sont des fonctions particulièrs oui. Par exemple, la fonction qui a une fonction dans R lui associe sa dérivée est une application linéraire. en effet, etc...

Mais ne t'inquiète pas, quand tu auras un peu travaillé dessus, tu comprendras ce que c'est =)

[invite332de63a]

Bonjour,
une application linéaire c'est une application qui transforme des droites passant par l'origine en des droites passant par l'origine (hormis le cas où on obtient le vecteur nul) ( 1ère condition ), ceci te dit en faite que si je prend un vecteur u et que j'en fait son image par f alors l'image de 2 u sera 2 fois f(u) et ainsi de suite , et ceci même pour les réels, donc tous les vecteurs liés (proportionnels) ont des images liées, voila pourquoi les droites deviennent des droites (hormi si f(u)=0 le vecteur nul). L'autre je ne vois pas trop comment l'expliquer...

En gros E ton esp vect a deux lois, + (interne) et . (externe), on appelle morphisme (ici application linéaire) toute application qui respecte les lois de E, c'est a dire on peut intervertir les opération et la fonction f(x+y)=f(x)+f(y) ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Je crois que c'est assez clair, si ta fonction vérifié les deux propriétés alors c'est une app. linéaire.

Par exemple f(x) = x² n'est pas une app linéaire car f(ax) = a²x² ce qui différent de af(x) = ax².

Tu remarques que étant connu l'image d'un vecteur v par f, tu peux connaître les images de tous les vecteurs av, et si tu connais l'image d'un autre vecteur u non colinéaire avec v, tu peux connaître l'image de tout vecteur au+bv, ceci est la base de l'écriture matricielle des applications linéaires...

[invitefa064e43]

et il faut que tu comprennes que ces propriétés font que les applications linéaires sont *plus simples* à étudier que les autres.

Notamment lorsque il y a plusieurs dimensions à la source et à l'arrivée.