Bonjour!
Soit a un réel quelconque, f et g deux fonctions définies sur un intervalle I contenant a.
Si pour tout x appartenant à I de R : f(x) <= g(x), comment démontrer que lorsque x tend vers a, lim(f) <= lim(g) ?
Merci par avance pour votre aide!
bonjour,
dans ton énoncé, rien ne dit explicitement que f et g admettent une limite en a.
donc on ne peut pas ecrire lim(f) sans que celle ci existe.
le fait qu'elles soient définies sur l'intervalle ne suffit pas.
On me précise au début du paragraphe:
"Toutes les fonctions sont supposées être définies au voisinage de a, sauf peut-être en a" .
Bonjour,
Faire un graphe serait une bonne démonstration d'après moi.
Charlie18.
Une conjoncture, oui, mais pas une démonstration...Envoyé par charlie18
Et faire une démonstration avec les taux de variations ?
Hmm, "Toutes les fonctions sont supposées être définies au voisinage de a, sauf peut-être en a" ne me semble toujours pas suffisant pour avoir l'existence de la limite.
Par exemple, la fonction f qui est confondue avec la fonction inverse sur R* et qui vaut 0 en 0 est définie sur tout voisinage de 0 mais n'admet pas de limite en 0.
Enfin bref, à la rigueur supposons que f et g admettent une limite en a.
En posant h=g-f, on se ramène à prouver que si une fonction est positive ou nulle alors sa limite en un point (si jamais celle-ci existe) est positive ou nulle.
Pour ça on peut raisonner par l'absurde : on appelle l la limite et on suppose que l<0. En appliquant la définition de la limite avec ε=-l/2, qui est bien strictement positif, on devrait pouvoir arriver à une contradiction.
Silk
Voici un début de proposition de démo:
Supposons f(x)>g(x) . Alors la limite en a de la fonction f-g est strictement positive. Notons L cette limite.
Il existe m>0 tel que 0<|x-a|<m entraîne (et c'est là que je ne comprends plus):...
D'où sortent les L/2 et 3L/2 ??
Attention ça c'est faux, la limite peut aussi être nulle.
C'est ce que je proposais dans mon message précédent : appliquer la définition de la limite à -L/2. On a alors l'existence de m>0 tel que :Il existe m>0 tel que 0<|x-a|<m entraîne (et c'est là que je ne comprends plus):
D'où sortent les L/2 et 3L/2 ??
0<|x-a|<m implique |f(x)-g(x)-L|<=-L/2 i.e. L/2<=f(x)-g(x)-L<=-L/2 soit encore 3L/2<=f(x)-g(x)<=L/2.
Silk
OK! J'ai compris: on applique la définition de la limite à la fonction h=f-g en prenant
Merci pour ta réponse...
NB: je travaille sur ce cours: http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Y.../lc/node8.html
Coquille: je voulais dire "une conjecture"... désolé!
