Comparaison de fonctions sur R
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Comparaison de fonctions sur R



  1. #1
    Jon83

    Comparaison de fonctions sur R


    ------

    Bonjour!

    Soit a un réel quelconque, f et g deux fonctions définies sur un intervalle I contenant a.
    Si pour tout x appartenant à I de R : f(x) <= g(x), comment démontrer que lorsque x tend vers a, lim(f) <= lim(g) ?
    Merci par avance pour votre aide!

    -----

  2. #2
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    bonjour,
    dans ton énoncé, rien ne dit explicitement que f et g admettent une limite en a.
    donc on ne peut pas ecrire lim(f) sans que celle ci existe.
    le fait qu'elles soient définies sur l'intervalle ne suffit pas.

  3. #3
    Jon83

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    On me précise au début du paragraphe:
    "Toutes les fonctions sont supposées être définies au voisinage de a, sauf peut-être en a" .

  4. #4
    charlie18

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    Bonjour,

    Faire un graphe serait une bonne démonstration d'après moi.

    Charlie18.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Jon83

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    Citation Envoyé par charlie18 Voir le message
    Bonjour,
    Faire un graphe serait une bonne démonstration d'après moi.
    Charlie18.
    Une conjoncture, oui, mais pas une démonstration...

  7. #6
    charlie18

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    Et faire une démonstration avec les taux de variations ?

  8. #7
    silk78

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    Hmm, "Toutes les fonctions sont supposées être définies au voisinage de a, sauf peut-être en a" ne me semble toujours pas suffisant pour avoir l'existence de la limite.
    Par exemple, la fonction f qui est confondue avec la fonction inverse sur R* et qui vaut 0 en 0 est définie sur tout voisinage de 0 mais n'admet pas de limite en 0.

    Enfin bref, à la rigueur supposons que f et g admettent une limite en a.
    En posant h=g-f, on se ramène à prouver que si une fonction est positive ou nulle alors sa limite en un point (si jamais celle-ci existe) est positive ou nulle.

    Pour ça on peut raisonner par l'absurde : on appelle l la limite et on suppose que l<0. En appliquant la définition de la limite avec ε=-l/2, qui est bien strictement positif, on devrait pouvoir arriver à une contradiction.

    Silk

  9. #8
    Jon83

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    Voici un début de proposition de démo:
    Supposons f(x)>g(x) . Alors la limite en a de la fonction f-g est strictement positive. Notons L cette limite.
    Il existe m>0 tel que 0<|x-a|<m entraîne (et c'est là que je ne comprends plus): ...
    D'où sortent les L/2 et 3L/2 ??

  10. #9
    silk78

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    Citation Envoyé par Jon83 Voir le message
    Supposons f(x)>g(x) . Alors la limite en a de la fonction f-g est strictement positive.
    Attention ça c'est faux, la limite peut aussi être nulle.


    Citation Envoyé par Jon83 Voir le message
    Il existe m>0 tel que 0<|x-a|<m entraîne (et c'est là que je ne comprends plus): ...
    D'où sortent les L/2 et 3L/2 ??
    C'est ce que je proposais dans mon message précédent : appliquer la définition de la limite à -L/2. On a alors l'existence de m>0 tel que :
    0<|x-a|<m implique |f(x)-g(x)-L|<=-L/2 i.e. L/2<=f(x)-g(x)-L<=-L/2 soit encore 3L/2<=f(x)-g(x)<=L/2.

    Silk

  11. #10
    Jon83

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    Citation Envoyé par silk78 Voir le message
    Attention ça c'est faux, la limite peut aussi être nulle.

    C'est ce que je proposais dans mon message précédent : appliquer la définition de la limite à -L/2. On a alors l'existence de m>0 tel que :
    0<|x-a|<m implique |f(x)-g(x)-L|<=-L/2 i.e. L/2<=f(x)-g(x)-L<=-L/2 soit encore 3L/2<=f(x)-g(x)<=L/2.

    Silk
    OK! J'ai compris: on applique la définition de la limite à la fonction h=f-g en prenant
    Merci pour ta réponse...

    NB: je travaille sur ce cours: http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Y.../lc/node8.html

  12. #11
    Jon83

    Re : Comparaison de fonctions sur R

    Citation Envoyé par Jon83 Voir le message
    Une conjoncture, oui, mais pas une démonstration...
    Coquille: je voulais dire "une conjecture"... désolé!

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