Bonjour,
tout d'abord, voici ce sur quoi je bloque :
Voici une matrice 3×3 :
-13 2 -28
1 10 -8
-6 6 -18
On a rang(C) = 2. Trouver deux matrices A et B, de taille 3×2 et 2×3 respectivement, telles que C=AB.
Je suis parvenu à résoudre un exercice similaire, mais, c'était alors des matrices 4x1 et 2x4 et non 3x2 et 2x3.
J'avais effectué le produit des matrices AxB avec des inconnus, mais ici, je suis paumé...
(J'oubliais de dire que C est la matrice 3x3)
Bonjour,
En gros l'idée derrière ce type de calcul est la suivante : le fait que rg(C)=2 signifie notamment que les colonnes de C ne sont pas indépendantes. Une conséquence est que si tu te donnes une base (X,Y) de l'image de C alors les colonnes de C seront une combinaison linéaire de X et Y (sachant que tu sais que ta base doit être de cardinal 2 car le rang de C est 2).
Maintenant, je t'invites à faire un petit calcul matriciel : si tu prend une matrice A (de taille 3x2) dont les colonnes sont X et Y, et que tu prends une matrice B (de taille 2x3) :
alors les colonnes de AB seront des combinaisons linéaires des colonnes X et Y de A, avec pour coefficients les bij (si tu ne le vois pas automatiquement, je te conseille de détailler le calcul matriciel coefficients par coefficients et de voir ce que ça donne).
Donc, en faisant le lien avec ce que j'ai dis plus haut, comme les colonnes de C sont des combinaisons linéaires de X et Y, en choisissant correctement les bij, tu dois pouvoir être capable de récréer la matrice C.
Par contre pour ça, il te faut trouver une base (X,Y) de l'image de C et les combinaisons linéaires de X et Y qui redonnent les colonnes de C.
Mais il y a moyen de faire ça simplement, en se rappelant que les colonnes de C sont des vecteurs engendrant l'image de C et que donc on peut prendre X et Y parmi les colonnes : ce qui simplifiera beaucoup le calcul.
Vois-tu où je veux en venir ?
Silk
Ah, encore toi silk, merci encore de ta patience pour me répondre!
Oui, je vois où tu veux en venir.
Néanmoins, si je prend directement 2 des 3 colonnes de C comme base, il faut que je parvienne à démontrer qu'elles sont indépendantes, c'est cela?
De rien
Oui effectivement tu dois montrer que les deux colonnes sont indépendantes (bon ici elles sont toutes indépendantes deux à deux donc tu peux prendre n'importe lesquelles).
Merci, je m'en suis enfin sortis
Je dois avouer que je dois faire des maths pour mes études, mais, ce n'est pas du tout ma matière préférée...
^^"
