trace d´un produit de matrices

[invitee75a2d43]

bonjour,

je lis partout dans mes bouquins et dans internet la propriété de la trace:

Tr(AB) = Tr(BA)

Mais je n´en trouve nul part la démonstration
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[GuYem]

C'est très facile à montrer :

- écris la formule de l'élément diagonal de C=AB (c_ii = somme(a_ik b_ki, k=1..n))
- écris la même pour celle de D=BA
- calcule la trace de C et celle de D, ce sont les mêmes.

[invitee75a2d43]

oui, merci, c´est exactement ça, je viens d´essayer

[invite819c6e68]

Desolė de faire remonter un sujet vieux de 4 ans^^

Jai fait la meme preuve, sans me demander si les deux matrices devaient etres carrees.
En effet si on considere A d'ordre (n,p) et B d'ordre (p,n) la trace est bien definie pour AB et BA

Ma question, ce resultat Tr(AB)=tr(BA) est il valable ou ai-je fait un un changement de variable illicite.

Lorsque les matrices sont n,n Tr(AB)=
Et par changement ( muet) de variables Tr(AB)= =Tr(BA)

Ce changement est il reelement muet dans les cas de matrices rectangulaires ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite819c6e68]

Re post: jai repindu a ma question en me relisant

BA ordre p
tr(BA) =

AB ordre n
Tr(AB) =

En posant i->k et k-> i on retrouve tr(BA)

[invite57a1e779]

Oui, le résultat vaut pour deux matrices rectangulaires, dès que les tailles sont nxp et pxn, une matrice rectangulaire et sa transposée par exemple.