Formules de trace

[invite4793db90]

Bonjour,

j'aimerais savoir ce qu'on appelle une "formule de trace" et pourquoi on les appelle ainsi.

L'idée, c'est d'y voir un peu plus clair dans la formule de trace de Selberg.

Merci d'avance.
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[mtheory]

Bonjour,

j'aimerais savoir ce qu'on appelle une "formule de trace" et pourquoi on les appelle ainsi.

L'idée, c'est d'y voir un peu plus clair dans la formule de trace de Selberg.

Merci d'avance.

Normalement c'est liè à la théorie des invariants.Lorsque que tu associes un truc linéaire à un problème mathématique et que tu peux en déduire une matrice et bien c'est liè à la trace de ce machin.Si tu as une matrice diagonalisée de dimension fini ou mieux infini tu en déduis une série qui souvent ressemble ou est lièe à une fonction de répartition.
Bon mon truc est ultra qualitatif mais en gros c'est comme ça que sa se passe.
En mécanique statistique quantique on voit souvent des traces telles que celles que je viens de définir.

[invite4793db90]

Merci pour ta réponse, mtheory, mais je n'ai pas tout compris.

En même temps, je vais préciser le problème: dans la formule de Selberg, on a une série des h(z_i) où les z_i sont des zéros (un lien avec les valeurs propres d'un opérateur?), une intégrale (un noyau?) et une autre série h*(z_i) où h* est une transformée de Fourier de h.

Le truc linéaire, ce serait la transformation de Fourier? :confused:

Enfin voilà, c'est un peu confus et je n'ai pas (encore ) trouvé de docs sur ces "formules de trace".

Bonsoir.

[mtheory]

Merci pour ta réponse, mtheory, mais je n'ai pas tout compris.

En même temps, je vais préciser le problème: dans la formule de Selberg, on a une série des h(z_i) où les z_i sont des zéros (un lien avec les valeurs propres d'un opérateur?), une intégrale (un noyau?) et une autre série h*(z_i) où h* est une transformée de Fourier de h.

Le truc linéaire, ce serait la transformation de Fourier? :confused:

Enfin voilà, c'est un peu confus et je n'ai pas (encore ) trouvé de docs sur ces "formules de trace".

Bonsoir.

Ce que je connais moi est lié à la théorie spectrale des opérateurs,je pense qu'effectivement c'est parent .

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

Ce que je connais moi est lié à la théorie spectrale des opérateurs,je pense qu'effectivement c'est parent .

C'est même plus que ça et je me disais bien que cela ressemblait aux techniques de renormalisation des champ Q en espace-temps courbes,la zeta function renormalisation of operator in CSPT de Hawking et all.
Regarde là:
http://match.stanford.edu/bump/notes.pdf
On voit que c'est lié aux valeurs propre de l'opérateur de Laplace sur certains espaces et qu'on a un lien avec la théorie arithmétique avec la fonction zeta (dzeta) de Riemann

[mtheory]

Ce que je connais moi est lié à la théorie spectrale des opérateurs,je pense qu'effectivement c'est parent .

Perfect connection:
http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/physics4.htm

[mtheory]

Perfect connection:
http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/physics4.htm

MUCH BETTER!!!!!!!!!!!!!!!!!
www.maths.bris.ac.uk/~majm/bib/selberg.ps

[invite4793db90]

MUCH BETTER!!!!!!!!!!!!!!!!!
www.maths.bris.ac.uk/~majm/bib/selberg.ps

Merci beaucoup mtheory!

Si j'essaie de résumer, on considère une surface de Riemann compacte: le laplacien sur celle-ci aura un spectre discret.

Ensuite, on construit un opérateur L (qui dépend d'une fonction-test h suffisamment "sympa") dont les valeurs propres sont fonctions de ; pour celà, on construit un noyau à partir des vecteurs propres du laplacien de sorte que .

Pour la suite, je comprends les calculs (je comprends comment l'auteur étudie les surfaces H/G où G est un sous-groupe de PSL(2,R), et en déduit un noyau k_G pour chaque groupe G; et aussi comment il relie ce noyau au noyau du cylindre et à la diagonale k(z,z)), mais je ne comprends pas vraiment la démarche générale.

Je n'ai pas non plus compris l'interprétation en terme de flot de géodésique. :confused:

Bon, pour être plus précis et comencer par simple, comment interpréter le terme de droite dans la formule de trace du cercle

?

Sincèrement.

[mtheory]

Bon, pour être plus précis et comencer par simple, comment interpréter le terme de droite dans la formule de trace du cercle

?

Sincèrement.

Bon il est tard donc si je dis des bêtises...
Calcul de résidus non?

[invite4793db90]

Bon il est tard donc si je dis des bêtises...
Calcul de résidus non?

Salut,

j'espère que tu as bien dormi...

En fait, la question, c'était plutôt qu'est ce que l'intégrale représente "physiquement". La somme du membre de gauche est la trace d'un opérateur, ok. Mais à droite?

Dans l'article, il parle de flot (flux?) de géodésiques sur la surface. Mais comme je ne suis pas très calé en géo diff, je ne vois pas. :confused:

Merci en tout cas.

[mtheory]

Salut,

j'espère que tu as bien dormi...

En fait, la question, c'était plutôt qu'est ce que l'intégrale représente "physiquement". La somme du membre de gauche est la trace d'un opérateur, ok. Mais à droite?

Dans l'article, il parle de flot (flux?) de géodésiques sur la surface. Mais comme je ne suis pas très calé en géo diff, je ne vois pas. :confused:

Merci en tout cas.

HUM...d'après mes souvenirs et ce que je crois avoir compris si tu prends une sphère(ou une surface) et que tu considères un champ de vecteurs sur celle-ci cela peut se voir comme un champ de vitesses d'écoulement d'un liquide,donc un flot.
Les géodésiques sur une surface ce sont les chemins de plus courtes distances entre deux points sur cette surface donc un flot géodésique est relié à un champ de vecteurs porté par une famille de géodésiques sur cette surface.
En gros c'est ça.
Dans le cas considéré c'est sur S1 donc c'est un ensemble de courbes (lacets) fermées je crois, puis qu'on parle de flot périodiques,
et partant de différents points.
En espérant avoir pas trop dit de bêtises...c'est une formulation pour 'physicien'

[invite4793db90]

HUM...d'après mes souvenirs et ce que je crois avoir compris si tu prends une sphère(ou une surface) et que tu considères un champ de vecteurs sur celle-ci cela peut se voir comme un champ de vitesses d'écoulement d'un liquide,donc un flot.
Les géodésiques sur une surface ce sont les chemins de plus courtes distances entre deux points sur cette surface donc un flot géodésique est relié à un champ de vecteurs porté par une famille de géodésiques sur cette surface.
En gros c'est ça.
Dans le cas considéré c'est sur S1 donc c'est un ensemble de courbes (lacets) fermées je crois, puis qu'on parle de flot périodiques,
et partant de différents points.
En espérant avoir pas trop dit de bêtises...c'est une formulation pour 'physicien'

Ok, mais quel est le rapport avec l'intégrale? :confused:

[mtheory]

Ok, mais quel est le rapport avec l'intégrale? :confused:

A ce stade pas grand chose,je crois qu'il prépare le terrain pour le fait qu'avec le spectre d'un opérateur lié à un champ sur une surface tu peux tirer des invariants qui caractérisent certaines propriétés topologiques ou géométrique de cette surface(ou du champ?) ou un truc comme ça(théorèmes d'index?).
Je n'ai pas encore regarder en détail le schmilblick,désolé
Je vais voir et j'essaye de te tenir au courant!
A+