produit vectoriel : incohérence en analyse dimensionnelle

[invite56b3defd]

La norme du résultat d'un produit vectoriel de deux vecteurs (v et w) peut être calculée par ||v x w|| = ||v||.||w||.sin(alpha),
où alpha est l'angle entre les vecteurs v et w.

Ma question est la suivante :
Le terme de gauche a pour dimension la norme d'un vecteur (disons qu'on travaille en mètres : terme de gauche = [m]). On se rend comte que le terme de droite a pour dimensions des [m^2]. Je ne comprends pas ce manque de cohérence. Comparer des mètres avec des mètres carrés est aussi insensé que de comparer des mètres avec des secondes... Sachant que j'étudie la physique, cela peut amener à des erreurs de symétrie systématiques lorsque le sujet devient géométrique. Quelqu'un saurait m'expliquer pourquoi l'analyse dimensionnelle ne colle pas avec le produit vectoriel ? (seul contre exemple que j'ai rencontré).

Merci
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[Sethy]

Bon je me lance, mais je ne suis ni matheux, ni physicien mais chimiste.

Il y a 2 éléments de réponses :

1) la dimension

En fait il y a cohérence. Ce que tu négliges dans ton terme de droite, c'est le vecteur unité normal au plan formé par les vecteurs v et w.

Il faudrait écrire :



Car ||u||, ||v||, et sin(alpha) sont des scalaires.

Le membre de gauche à pour dimension celle du produit vectoriel (çàd la dimension de l'axe perpendiculaire au plan vw) tandis que celui de droite à pour dimension . Et ces 2 dimensions sont identiques.

Si tu prends, comme tu le faisais la norme de cette égalité, tu n'as alors plus que des scalaires à gauche et à droite. ||v x w|| est un scalaire et la "disparition" du vecteur i redonne bien le produit de 3 scalaires, soit un scalaire.

Sethy

[Sethy]

Je n'ai pas oublié le point 2 de mon argumentaire mais il est beaucoup plus évolué.

Essayons de généraliser le produit scalaire à des dimensions supérieures à 2. On se heurte très vite à un souci. C'est que ce qui tombait bien à 2 dimensions, à savoir l'existence d'un 3ème axe perpendiculaire disparait complètement.

Le produit scalaire est donc un cas isolé, non généralisable.

Il existe une autre théorie qui explique qu'en fait le produit scalaire n'est qu'une manière d'orienter une surface.

Imagine un parallélogramme et envisage les 2 chemins possibles pour rejoindre des sommets opposés. Dans l'un des deux cas, tu orientes la surface dans le sens des aiguilles d'une montre et dans l'autre cas, c'est le sens inverse.

Considère maintenant ||u||.||v||.sin(alpha) de ce point de vue. Inverser u et v, inverse le signe. On a effectivement une orientation de la surface.

Et ça c'est généralisable à 3 dimensions. En effet si tu considères un parallélépipède rectangle, et qu'à nouveaux tu cherches à rejoindre les 2 sommets opposés, tu verras qu'il existe plusieurs chemins qui orientent cette fois-ci le volume.

Sethy

P.S. : Ici je marche nettement plus sur des oeufs. Cette théorie s'appelle l'algèbre géométrique mais je suis incapable d'en percevoir toute la puissance.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Le mètre ne résulte pas d'un produit vectoriel.
Comme exemple, on peut prendre le moment d'un couple de forces :

Sa norme s'exprime en N.m (lire Newton mètre) et est bien le résultat du produit d'une force en Newtons et d'une distance en mètres.

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour Sethy,
Vraiment clair votre démonstration.
Il est vrai que l'on utilise, en tout cas moi, beaucoup le produit vectoriel pour connaitre la position de 3 points entre eux, c'est à dire si on les parcourt dans le sens des aiguilles d'une montre, ou dans le sens inverse. Ceci est vrai en 2D, en 3D (au-delà j'ai pas essayé).
Pour mémoire, pour calculer l'aire d'un polygone connu par les coordonnées de ses sommets, on utilise le produit vectoriel sous sa forme analytique. (dx1 dy2)-(dx2 dy1).
Vive le produit vectoriel

[invite15b2900e]

Dans R2 la norme du produit vectoriel donnera toujours pour solution le scalaire nul 0
dans R3 et uniquement dans R3 la norme donne "l'aire" formée par les deux vecteurs
voir ici exemple produit vectoriel dans R4
proprietes du produit vectoriel dans Rn et proprietes uniquement valables dans R3

considerons par exemple deux vecteurs V = ( v1 , v2 , v3 ) et W = ( w1 , w2 , w3 ) de l'espace vectoriel R3 on notera R3 et par extention Rn car ici les composantes sont des nombres reels
le produit vectoriel se note: Z = V /\ W

la solution Z est aussi un vecteur

Dans R3 on obtiens:
Z = ( z1 , z2 , z3 ) selon
Z1 = v2.w3 - v3.w2
Z2 = v3.w1 - v1.w3
Z3 = v1.w2 - v2.w1

Dans R4 on obtiens:
Z1 = X2.Y3 + X2.Y4 + X3.Y4 - X3.Y2 - X4.Y2 - X4.Y3
Z2 = X3.Y1 + X3.Y4 + X4.Y1 - X1.Y3 - X1.Y4 - X4.Y3
Z3 = X1.Y2 + X4.Y1 + X4.Y2 - X1.Y4 - X2.Y1 - X2.Y4
Z4 = X1.Y2 + X1.Y3 + X2.Y3 - X2.Y1 - X3.Y1 - X3.Y2

En fait: Zi = S(i,j,k) . Vj .Wk sommation dans laquelle tous les indices prennent toutes les valeurs de 1 à n

S( i , j , k , ... ) designe le symbole d'anti-symetrie

ce symbole S(i,j,k,l,...) ne peut prendre que trois valeurs possibles:
S(i,j,k,l,...) = 0 ou bien alors S(i,j,k,l,...) = 1 ou bien alors S(i,j,k,l,...) = -1

Pour determiner la valeur d'un symbole d'anti-symetrie on va prendre un exemple tres simple avec quatre indices mais que l'on peut ensuite facilement transposer pour un nombre quelconque d'indices
S(i,j,k,l) = 0 si et seulement si il existe au moins deux indices de valeur egales
par exemple S(2,4,3,2) = 0 car ici i = l = 2

à present pour determiner si S(i,j,k,l) = 1 ou S(i,j,k,l) = -1 on doit considerer un ordre originel d'arrangement des indices par exemple ici l'ordre originel est: i < j < k < l < ...

de plus on doit considerer ce que l'on appelle une permutation des valeurs d'indices:
Pour effectuer une permutation sur la suite par exemple 2,4,1,3 on peut faire permuter 1 et 2 on obtiendra la suite 1,4,2,3 ou bien alors depuis la suite 2,4,1,3 faire permuter 4 et 1 on obtiendra la suite 2,1,4,3

S(i,j,k,l) = 1 si et seulement si l'ordre originel 1,2,3,4 peut être constitué apres un nombre pair (dont le nombre zero) de permutations
par conséquent S(1,2,3,4) = 1 autre exemple S(4,2,1,3) = 1 car 4,2,1,3 --> 1,2,4,3 --> 1,2,3,4 c'est à dire deux permutations pour retrouver l'ordre originel 1,2,3,4
S(i,j,k,l) = -1 si et seulement si l'ordre originel 1,2,3,4 peut être constitué apres un nombre impair de permutations
par exemple S(2,4,1,3) = -1 car 2,4,1,3 --> 1,4,2,3 --> 1,2,4,3 --> 1,2,3,4 c'est à dire trois permutations pour retrouver l'ordre originel 1,2,3,4

la notation Zi = S(i,j,k) . Vj .Wk designe une sommation (convention de sommation d'Einstein)


proprietés du produit vectoriel dans Rn


Dans l'espace vectoriel euclidien Rn munis du produit vectoriel on considere les proprietes:

Soient cinq vecteurs V , W , A , B , C on considere les proprietes suivantes:

Anticommutatif V /\ W = -W /\ V
Distributivite par rapport à l'addition des vecteurs ( V + W ) /\ Z = ( V /\ Z ) + ( W /\ Z )
Le produit par un scalaire Y est associatif par rapport au produit vectoriel ( V /\ W ) . Y = V /\ (W.Y)
Le produit scalaire . par lequel on obtiens:
V . ( V /\ W ) = 0 et W . ( V /\ W ) = 0 et A . ( B /\ C ) = ( A /\ B ) . C et = ( ( A /\ B ) /\ A ) . B
Par ailleurs on obtiens: A /\ A est un vecteur nul


proprietés supplementaires du produit vectoriel uniquements valables dans R3


Quelques soient trois vecteurs A , B , C dans R3 on obtiens toujours:

|| A /\ B || = ||A|| . ||B|| . sin(r)
avec un réel r tel que:


et




A /\ ( B /\ C ) + B /\ ( C /\ A ) + C /\ ( A /\ B ) est un vecteur nul

( A /\ B ) . ( C /\ D ) = (A.C).(B.D) - (B.C).(A.D)

A /\ ( B /\ C ) = (A.C).B - (A.B).C

[Dlzlogic]

Bonjour,
Eh bien, avec tout ça, si notre ami V146 ne nous dit pas un grand merci, c'est à se dégouter d'être sympa

[invite56b3defd]

Je ne m'attendais pas à des résultats aussi rapides et aussi précis. Je comprends mieux le problème maintenant. C'est mon premier poste sur ce forum et je suis très satisfait. Merci à tous.

[invite15b2900e]

Salut mais ce n'est pas aussi précis car à ce qu'il parait(d'apres mes toutes dernieres informations ce serait pour la N.A.S.A.)
alors ce que j'ai dit(proprietes du produit vectoriel en rapport avec le produit scalaire) n'est pas valable dans un espace vectoriel non euclidien
car j'ai supposé le produit scalaire euclidien X1.Y1 + X2.Y2 + ...
mais en algebre des forme il y a des produits scalaires du type par exemple:
X1.Y1 - X2.Y2 + ...
et pire si en plus les composantes sont complexes alors là de fait on est plus dans un espace vectoriel euclidien et pire en plus les vecteurs issues du produit vectoriel ne respectent pas le referenciel ce sont des pseudovecteur et pour palier on utilise les tenseurs
Bonne nuit

[Médiat]

Pour information et pour rappel : il n'existe pas de produit vectoriel dans les espaces que si n =3 ou 7 (pour être complet, il en existe aussi en dimension 0 et 1, mais ils ne sont pas très intéressants), donc parler de produit vectoriel en dimension 4 est forcément faux.

[Médiat]

il y a des produits scalaires du type par exemple:
X1.Y1 - X2.Y2 + ...

Est-ce que la définition d'un produit scalaire réel ne serait plus : forme bilinéaire symétrique définie positive

[invite15b2900e]

Ben en fait dans ce dernier cas mais(il y en a d'autres encore plus dégénérés)ol ne sera pas defini positif mais tout dépend de ceque l'on recherche
de toute toute façon même dans la forme X1.Y1 + X2.Y2 ...
il ne sera pas défini positif avec des composantes complexes mais cette personne ne m'a pas donné ses motivations alors pour eviter qu'elle soit surprise j'ai complété comme j'ai put
au depart je croit qu'il y a un melange des genres car elle utilise des unités
mais bon apres elle a vu mais comme elle est condamnée à continuer alors ce qui est dit elle l'aura déjà...

[invite15b2900e]

Pour information et pour rappel : il n'existe pas de produit vectoriel dans les espaces que si n =3 ou 7 (pour être complet, il en existe aussi en dimension 0 et 1, mais ils ne sont pas très intéressants), donc parler de produit vectoriel en dimension 4 est forcément faux.

desolé mais verifie mes proprietes
je sais pas si t'est serieux mais là verifie j'ai donné un exemple et les proprietes avec...

[invite15b2900e]

Z1 = X2.Y3 + X2.Y4 + X3.Y4 - X3.Y2 - X4.Y2 - X4.Y3
Z2 = X3.Y1 + X3.Y4 + X4.Y1 - X1.Y3 - X1.Y4 - X4.Y3
Z3 = X1.Y2 + X4.Y1 + X4.Y2 - X1.Y4 - X2.Y1 - X2.Y4
Z4 = X1.Y2 + X1.Y3 + X2.Y3 - X2.Y1 - X3.Y1 - X3.Y2

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les proprietes generales voir plus haut en cinq minutes tu verifie et la demo dans Rn est faisable
par contre R3 dispose de proprietes supplementaire mais je l'ai déjà dit non?
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[Médiat]

Vous ne semblez pas connaître grand-chose aux mathématiques, sinon vous connaitriez le théorème de Hurwitz : Il n'existe pas de produit vectoriel en dimension 4, alors inutile de répéter le contraire : vous avez tort.
Sans parler de votre mauvaise foi cf. la remarque sur le produit scalaire, que vous faisiez à propos d'ev réel puisque c'est après la formule que j'ai reprise que vous précisez : "et pire si en plus les composantes sont complexes " !

De plus je vous rappelle qu'un minimum de courtoisie est nécessaire sur ce forum

Médiat, pour la modération

[invite15b2900e]

Vous ne semblez pas connaître grand-chose aux mathématiques, sinon vous connaitriez le théorème de Hurwitz : Il n'existe pas de produit vectoriel en dimension 4, alors inutile de répéter le contraire : vous avez tort.
Sans parler de votre mauvaise foi cf. la remarque sur le produit scalaire, que vous faisiez à propos d'ev réel puisque c'est après la formule que j'ai reprise que vous précisez : "et pire si en plus les composantes sont complexes " !

De plus je vous rappelle qu'un minimum de courtoisie est nécessaire sur ce forum

Médiat, pour la modération

Vous avez raison
je vouvoye (cela je ne sait jamais à l'avance)
pour le reste vous n'avez pas pris les cinq minutes nessessaire pour verifier

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[invite56b3defd]

Sans vouloir être offensant : Je ne comprends pas l'intérêt de me donner l'expression d'une extension du produit vectoriel sur Rn : ce n'es pas la question posée (surtout que si on fait une recherche internet rapide, la plupart des sites internet clament l'impossibilité de construire un produit vectoriel généralisé : cela ne peut que rendre ma compréhension encore plus floue). Ma question était simplement : pourquoi est ce qu'on avait l'impression d'égaliser la longueur d'un vecteur ||v x w|| avec une aire ||v||.||w||.sin(v,w).

Merci à Sethy, qui en écrivant simplement

a rendu cette formule cohérente et m'a permis de comprendre d'où venait mon problème.

Ulbritch48, c'est bien gentil d'avoir pris le temps d'écrire tout ça, mais pour être franc ça ne rend pas vraiment service : cette pseudo-généralisation sur Rn ne répond pas à ma question et semble douteuse si on compare à ce qu'on peut trouver ailleurs sur internet.

[Médiat]

pour le reste vous n'avez pas pris les cinq minutes nessessaire pour verifier

Il n'y a rien à vérifier : il n'existe pas de produit vectoriel en dimension 4, c'est un théorème bien connu, sauf de vous semble-t-il.

Que vous vouliez définir une autre opération entre vecteurs de IR⁴, c'est votre droit, mais ce ne sera pas un produit vectoriel, alors ne le baptisez pas "produit vectoriel" !

[invite15b2900e]

La norme du résultat d'un produit vectoriel de deux vecteurs (v et w) peut être calculée par ||v x w|| = ||v||.||w||.sin(alpha),
où alpha est l'angle entre les vecteurs v et w.

Ma question est la suivante :
Le terme de gauche a pour dimension la norme d'un vecteur (disons qu'on travaille en mètres : terme de gauche = [m]). On se rend comte que le terme de droite a pour dimensions des [m^2]. Je ne comprends pas ce manque de cohérence. Comparer des mètres avec des mètres carrés est aussi insensé que de comparer des mètres avec des secondes... Sachant que j'étudie la physique, cela peut amener à des erreurs de symétrie systématiques lorsque le sujet devient géométrique. Quelqu'un saurait m'expliquer pourquoi l'analyse dimensionnelle ne colle pas avec le produit vectoriel ? (seul contre exemple que j'ai rencontré).

Merci

Salut
Sans vouloir être offensant j'apprend pas les maths sur internet
merci de m'avoir dit merci verifiez ce que je dit mais votre question j'y ai repondu en ce qui vous concerne
désolé mais là pas d'accord
vous avez quatre equations (R4) et les proprietes generales (que j'ai bien distinguées avec celles valables uniquement sur R3)
n'importe qui peut les verifier
je serais même capable de jouer ma tête dessus
C'est faux avez vous verifié desolé c'est votre Topic mais là excusez moi mais je passe pas
Bonne journée quand même