Espaces de Hilbert (exemples dans la vie de tous les jours)?

[invitef01c892f]

bonsoir!



je suis en train de lire l'Omnès de Mecanique quantique et celà allait assez bien jusqu'à la page 83 ou interviennent les Espaces de Hilbert.j'ai appris la definition theorique mais dans la vie de tous les jours je ne sais s'il existe des exemples concrets et pratiques pour le commun des mortels.est-ce necessairement abstrait because MQ ou pouvez vous me donner des exemples concrets et pedagogiques.
celà risque d'interesser beaucoup de masters de maths et physique?

d'avance merci!


amicalement!
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[invite986312212]

les exemples les plus simples sont les espaces euclidiens. Connaître leurs propriétés est un bon point de départ.

[inviteab2b41c6]

les exemples les plus simples sont les espaces euclidiens. Connaître leurs propriétés est un bon point de départ.

En fait les espaces de Hilbert sont même la (une?) généralisation naturelle des espaces euclidiens.

Si tu veux un exemple pédagogique .... pas sur, il faut quand même un exemple en dimension infinie pour que ça ait un intérêt de les dissocier des espaces euclidiens.

Les plus simples en dimension infinie sont déjà compliqués... mais je dirais que l'ensemble de toutes les suites réelles (a_n) telles que


fourni l'exemple le plus simple.

Un exemple pédagogique... je dirai peut être que tu pourrais penser aux ondes éléctromagnétiques, mais j'ai peu de dire une bétise.

[invite4ef352d8]

en fait, il y essentiellement un seul espace de hilbert qui intervient en physique (à part l'exemple evident des espaces de dimension fini munie du produit scalaire canonique) : c'est l'espace vectorielle des suites de carré sommable dont a parlé quinto, le produit scalaire etant donné par (an | bn) = somme de k=0 à l'infini de (ak.bk)

(bk.conjugué de ak) si on considère des espaces complexes... )


c'est le seul car on peut démontrer que n'importe qu'elle espace de hilbert "séparable" (=qui admet une sous famille dénombrable dense, à ma connaissance c'est le cas pour tout ceux qui interviennent en physique... ) est isomorphe à celui ci... (ce résultats est l'analogue exacte de dire que tout les C-espace vectorielle de dimension fini sont isomorphe à C^n )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef01c892f]

Bonsoir!




j'ai peut-etre trouvé un exemple vague sur le net,voici;


supposons trois pommes et trois oranges,les pommes et les oranges sont dissemblables mais ont en commun de se comporter comme des vecteurs d'un espace de Hilbert ils sont en somme une extension très lointaine de la notion très abstraite de nombre...




cordialement!

[GrisBleu]

Salut

Ton exemple me semble plus etre une explication d'un cardinal.
Dans la vie de "tous les jours" (pi, si la MQ est correcte, on vit dans un grand espace de Hilbert, donc l'univers est un bon exemple), un exemple est le traitement du signal: un signal electrique est d'energie finie (c'est l'espace L2 dont parle Ksilver) mais pas forcement continu. Toutes les operations sur un signal sont des concepts d'espaces de Hilbert (entre autres, la transformee de Fourier)