Minimum d'une fonction d'un espace euclidien

[invite652ff6ae]

Bonjour, un exercice me pose quelques soucis...

On a E un espace euclidien, v un vecteur non nul de E et u un endomorphisme de E symétrique défini postif.

On considère f la fonction définie sur E par :

Après avoir réussi à montré que f n'admettait pas de maximum, je dois montrer que f admet un minimum et le déterminer.

J'ai calculé la différentielle de f et j'obtiens que la différentielle de f au point x est définie par

Une condition nécessaire pour soit un extrema est que le gradient de f en ce point soit nul (à confirmer ?).
Le minimum doit donc vérifier soit comme u est défini positif,

Ainsi on a un seul minimum possible, reste à montrer que c'est effectivement un minimum et c'est ici que je ne vois pas du tout comment faire

Merci !
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[Tiky]

Bonsoir,

Sauf erreurs, on a
Donc

Mais u est autoadjoint, donc .

[Tiky]

Au passage, on a montré que le minimum était unique et strict.

[invite652ff6ae]

Merci beaucoup, je n'avais pas pensé à faire ça

[A voir en vidéo sur Futura]