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Minimum d'une fonction d'un espace euclidien



  1. #1
    SoaD25

    Minimum d'une fonction d'un espace euclidien


    ------

    Bonjour, un exercice me pose quelques soucis...

    On a E un espace euclidien, v un vecteur non nul de E et u un endomorphisme de E symétrique défini postif.

    On considère f la fonction définie sur E par :

    Après avoir réussi à montré que f n'admettait pas de maximum, je dois montrer que f admet un minimum et le déterminer.

    J'ai calculé la différentielle de f et j'obtiens que la différentielle de f au point x est définie par

    Une condition nécessaire pour soit un extrema est que le gradient de f en ce point soit nul (à confirmer ?).
    Le minimum doit donc vérifier soit comme u est défini positif,

    Ainsi on a un seul minimum possible, reste à montrer que c'est effectivement un minimum et c'est ici que je ne vois pas du tout comment faire

    Merci !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Tiky

    Re : Minimum d'une fonction d'un espace euclidien

    Bonsoir,

    Sauf erreurs, on a
    Donc

    Mais u est autoadjoint, donc .

  4. #3
    Tiky

    Re : Minimum d'une fonction d'un espace euclidien

    Au passage, on a montré que le minimum était unique et strict.

  5. #4
    SoaD25

    Re : Minimum d'une fonction d'un espace euclidien

    Merci beaucoup, je n'avais pas pensé à faire ça

  6. A voir en vidéo sur Futura

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