Opérateur symétrique

[titi07]

Bonsoir tout le monde,
alors voila, j'ai à démontrer ceci:

si  est un Banach,  isomorphe à un Hilbert , alors il existe un isomorphisme  
 tel que  soit positif et symétrique.

Avec les définitions suivantes:
1- est positif si
2- est symétrique si

et j'ai entre les mains le théorème suivant:

 est un Banach,  isomorphe à un Hilbert , ssi il existe un isomorphisme  
 tel que :

et la je bloque sur la symétrie de :
je voudrais la démontrer en utilisant l'inégalité du théoreme , mais j'ai du mal à developper tout ça,
des petites indications me seront utiles...

Merci pour votre aide..

Bonne nuit à tous
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[inviteea028771]

Tu n'as pas besoin de ton second théorème pour montrer ton premier théorème (c'est visiblement pour la réciproque que c'est utile)

En effet, si c'est isomorphe à un Hilbert, tu as nécessairement un produit scalaire, qui est positif et symétrique.

Reste à poser , ce qui est possible car le produit scalaire est linéaire par rapport au second argument.

Pour la réciproque, j'ai trouvé une démo ici (prop 3.1):
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/...805.4721v1.pdf

[titi07]

Salut,
Okk, je vois maintenant, donc je dirais que :
il existe un isomorphisme , et en posant : et vu la symétrie et la positivité du produit scalaire, on aura T symétrique et positif...


Merci beaucoup pour votre aide..
Merci aussi pour le lien