equation plan, equation droite, f(x,y)...

[invitee58fc3c0]

Bonjour je commence bientôt l'analyse vectorielle et je suis un peu perdu, je sollicite donc votre aide.

l'équation d'une droite dans le plan est de la forme ax+by+c=0 et celle du cercle est (x-x0)²+(y-y0)²=r²

l'équation d'un plan dans l'espace est ax+by+cz+d=0 et celle d'une sphère est (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²

Après on nous dit l'équation dans le plan s'écrit f(x,y)=0 et dans l'espace f(x,y,z)=0

Bon ok pour les définitions mais Je me pose quelques questions.

est ce que c'est juste si j'écris f(x,y)= x+y = 6 ? et si après je met
f: (x,y)->x+y
(x,y)->6
En fait je veux dire que la fonction a deux équations. Est ce que mathématiquement cela est correcte ( désolé je compte faire de la physique pas des maths donc niveau formalité en maths je suis une bille. Y'a à peine deux semaines je faisait pas la distinction entre application et fonction )
Je me suis aidé de Maple pour voir ce que ça representait. Dans l'espace ça me donne une droite contenue dans un plan d'altitude 6 et parallèle au plan xOy. C'est ça qu'on appelle ligne de niveau ?

car sur un site de maths il y a écrit Les fonctions f de R² dans R peuvent également être représentées dans le plan par des lignes de niveaux f(x1, x2) = Cte.

Mais si j'écris f(x,y)=6 tout simplement bah la ça me donne carrément un plan d'altitude 6 parallèle au plan xOy et j'ai pas de lignes de niveaux.

Bref c'est là ou je suis perdu.

Sur internet j'ai lu que f(x,y)=0 est une courbe plane mais c'est quoi qu'ils appellent courbe plane ? moi j'aurai dit ça fait un plan d'altitude 0. Tout les point (x,y) du plan xOy ont pour image le même point par exemple pour (1,2) son image est (1,2,0) qui est aussi (1,2). Ca fait donc un plan. Mais une courbe c'est de dimension 1 non ? Est ce qu'une courbe peut être vu comme un plan ou un espace ?
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[shokin]

Mais si j'écris f(x,y)=6 tout simplement bah la ça me donne carrément un plan d'altitude 6 parallèle au plan xOy et j'ai pas de lignes de niveaux.

En fait, dans l'espace, f(x;y) = z. Tu as une sorte de fonction constante, qui représente le plan plat (horizontal) d'altitude 6. Tous les points de ce plan ont pour troisième coordonnée z = 6, peu importent les deux premières coordonnées (x et y).

Pour faire l'analogie : dans le plan, f(x) = y. Si f(x) = 6, cela signifie y = 6. Tu as une fonction constante, qui représente la droite plate (horizontale) d'altitude 6. Tous les points de cette droite ont pour deuxième coordonnée 6, peu importe la première coordonnée (x).

Sur internet j'ai lu que f(x,y)=0 est une courbe plane mais c'est quoi qu'ils appellent courbe plane ?

En l'occurrence, c'est un plan. Le plan tel que f(x;y) = z = 0. Il est aussi plat, comme l'autre. Il lui est donc parallèle, mais il est plus bas. La distance entre ces deux plans est 6. Ils ont les mêmes vecteurs normaux (à la colinéarité près).

Je ne sais pas si tu as appris mais :

- deux vecteurs colinéaires sont deux vecteurs non nuls de même direction. L'un peut-être obtenu par l'autre par simple multiplication par un réel non nul.
- le vecteur normal à un plan (et tous ses vecteurs colinéaires) dans l'espace est le vecteur perpendiculaire (perpendiculaire = orthogonal) à ce plan (à tous les vecteurs "directeurs" de ce plan). A partir de l'équation cartésienne du plan ax + by + cz + d = 0, on trouve très facilement ses vecteurs normaux qui sont (a b c)t avec t réel non nul.

Pour l'équation dans l'espace : f(x;y) = x + y ce sera donc z = x + y . Tu auras par exemple comme points de ce plan : (x;y;x+y) ; (0;0;0), (0;1;1), (1;0;1), (1;1;1).

En fait, la fonction de type z = ax + by + c et l'équation paramétrique de type ax + by + cz + d = 0 s'obtiennent l'une à partir de l'autre simplement par des manipulations d'équations du premier degré. Exemple :

z = 5x/2 + 2y /3 + 3/5
~ z = (75x + 20y + 18)/30
~ 30z = 75x + 20y + 18
~ 75x + 20y - 30z + 18 = 0

Remarque : si tu amplifies une fonction linéaire (du premier degré), la fonction obtenue représente la même droite ou le même plan, puisque les deux équations sont équivalentes (ont le même ensemble solution).



Shokni

[invitee58fc3c0]

Merci pour ta réponse,

Mais quand j'ai écris f(x,y)=x+y=6 , c'est une courbe dans le plan mais on peut aussi la voir dans l'espace. ça sera une droite plane de hauteur 6 non ?

[shokin]

Merci pour ta réponse,

Mais quand j'ai écris f(x,y)=x+y=6 , c'est une courbe dans le plan mais on peut aussi la voir dans l'espace. ça sera une droite plane de hauteur 6 non ?

Non, en fait, quand tu écris f(x;y), ce dernier représente toujours z, donc tu es dans l'espace.

Quand tu écris f(x,y)=x+y=6, tu as en fait deux équations :

z = f(x;y) = x+y (qui représente un plan que je vais appeler A)
z = f(x;y) = 6 (qui représente un autre plan que je vais appeler B)

L'équation cartésienne du plan A est :

x + y - z = 0 (et a pour vecteur normal (1 1 -1) )

L'équation cartésienne du plan B est :

z -6 = 0 (et a pour vecteur normal (0 0 1) )

Comme les vecteurs normaux respectifs aux deux plans ne sont pas colinéaires, les deux plans ne sont pas parallèles. Leur intersection est une droite.

Et, dans l'espace, une droite nécessite deux équations affines, alors qu'elle n'en nécessite qu'une dans le plan, ce dernier ayant une dimension de moins que l'espace.

z = f(x;y) = x+y
z = f(x;y) = 6

est donc un système de deux équations affines à trois inconnues. Il aura donc pour solution une infinité de points qui forment une droite.

En l'occurrence, ça va te donner une droite de hauteur 6, oui, car z est constant. Cela dit, il y en une infinité. Mais là, tu as l'autre équation (l'autre contrainte) qui te dit que z = x+y, donc par transitivité x+y = 6.

Tu vois donc que, pour trouver l'intersection entre n lieux géométriques, tu dois résoudre le système des équations (ou inéquations) de ces lieux géométriques. [Un lieu géométrique est un ensemble de points respectant des caractéristiques données.]



Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee58fc3c0]

Ben la droite en question ce sera l'intersection des deux plans c'est bien ça ?

[shokin]

Ben la droite en question ce sera l'intersection des deux plans c'est bien ça ?

Exactement.



Shokin

[invitee58fc3c0]

Bah j'ai fais le dessin sur maple et j'ai vu l'intersection des deux plans que tu disais. Ca fait bien une droite . Mais quand je t'ai demandé :

f(x,y)=x+y=6 , c'est une courbe dans le plan mais on peut aussi la voir dans l'espace. ça sera une droite plane de hauteur 6 (intersection des deux plans)

tu m'as répondu

Non

Donc j'avais raison ?

[shokin]

En fait, je disais non juste à ce petit bout de phrase :

c'est une courbe dans le plan

Pour le reste, tu m'as l'air d'avoir compris les bases.



Shokin

[invitee58fc3c0]

Ah ok j'aurais du dire courbe dans l'espace

Merci pour tes explications