Intervalle de confiance pour une valeur maximale

[invite5acbcf98]

Bonjour,

Je cherche à calculer un intervalle de confiance au sens du stat (IC) pour une valeur maximale de mon echantillon. La valeur maximale est une variable aléatoire.

Dans les livres de stats, j'ai vu comment construire un IC pour la moyenne, la variance, un pourcentage, ... mais, je ne trouve aucune piste pour calculer un IC pour le max.

Par exemple, dans l'echantillon 1,15,21,4, la valeur max=15. Je cherche à établire un IC (à 95%) pour cette valeur max. Le nombre de l'echantillon peut être 15 ou 20.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci par avance.
ATNM
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[invitedc1e5e9e]

Bonjour

Le problème consiste à établir la loi du max. Cela peut être fait à partir de la loi des nombres de la série, en supposant que les tirages sont indépendants (sinon, ça devient compliqué).

[invite5acbcf98]

Bonjour,

Merci beaucoup pour ta réponse. Je vais lire sur la loi du max et la loi des nombres de la série et le fonction de répartition (je ne connais pas du tout ces lois).
Sur un exemple très simple comme (2, 6, 4, 5, 1), où la moyenne = 3.6 et l'ecart type = 2.07, l'intervalle de confiance pour la moyenne s'écrit comme mu = 3.6 +/- (t)(2.07/racine carré de 5).
Est-ce que tu pourrais utiliser cet exemple pour me dire comment construire un IC pour la max = 6? Et, supposons que les soustirages son indépendents. Ou bien, si tu peux me donner qqs références où je peux trouver des exemples numériques simples pour commencer.
Un grand merci à m'aider à avancer sur mon problème.

Cordialement
ATNM

[invitedc1e5e9e]

Bonjour,

A mon humble avis et d'après mes souvenirs de mes cours de stats, on peut facilement donner un estimateur et donc un intervalle de confiance pour la moyenne ou l'écart-type (qui suivent respectivement des lois normales et de Fisher). Pour le max, il me semble que c'est une autre paire de manches !

Désolé de ne pouvoir t'en dire plus !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Pour la loi du max, tout dépend de la densité de probabilité de ta variable aléatoire.

Ça n'est pas la même chose si c'est, par exemple, une loi uniforme discrète ou une loi de Poisson.

L'idée générale pour calculer la loi du max de n valeurs est la suivante (si tout est bien indépendant):



En notant F(x) la fonction de répartition de la loi, et f sa densité, on a :



D’où, en dérivant :



L'espérance du max est donc :



Et pour trouver l'intervalle de confiance à p, il faut résoudre l'équation :




Dans le cas d'une loi uniforme sur [0,1] (le plus simple), on a :



D'où :




Et pour l'intervalle de confiance à p, il faut résoudre :



(et ça, c'est pas très beau )

Numériquement, on trouve par exemple que le maximum de 10 tirages uniformes dans [0, 1] a 95% de chance de se trouver dans l'intervalle : [0.741, 1]

[invite5acbcf98]

Bonjour,

Merci de m'avoir donner les mots clés (loi du max, ..).

[invite5acbcf98]

Tryss,

Merci beaucoup Tryss pour ces informations précises et détaillées.

Comme je débute sur la modélisation statistique des valeurs extrêmes, et que j'aimerai pouvoir appliquer ces résultats théoriques à des cas numériques concrets, voici mes 2 questions:

1/ est-ce qu'il y a des logiciels qui peuvent calculer ce genre de IC de manière +/- automatique (comme pour les IC d'une moyenne ou de la variance) ?

2/ est-ce que je peux commencer par supposer une distribution normale (sachant que je pourrais avoir un echantillon de 30 observation) ?

3/ Et, juste pour te montrer un cas numérique concret pour lequel je veux construire un IC pour le max (qui est une variable aléatoire):
62162.1811 ; 62162.087 ; 62162.154 ; 62162.157 ; 62162.183 ; 62162.186 ; 62162.201 ; 62162.564 ; 62162.632 ; 62162.75 ; 62163.046 ; 62163.261 ; 62163.583 ; 62163.678 ; 62163.685

où le max = 62163.685 ; moyenne = 62162.68987 ; ecart type = 0.608



Merci par avance.
ATNM

[invite986312212]

1) pas à ma connaissance

2) regarde ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Gumbel