somme directe et isomorphisme

invite9b650739 · 10/09/2011, 18h16

Bonjour les matheux..

j'ai une petite question,alors voila:
si $\text{[math]}$ est un espace de Banach, et si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est un fermé dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est de dimension finie.
et en plus, on a $\text{[math]}$ un isomorphisme sur $\text{[math]}$ , peut on deduire que $\text{[math]}$ est un isomorphisme sur $\text{[math]}$ .

Merci beaucoup pour votre aide...

invitea0db811c · 10/09/2011, 18h42

Bonjour,

Je ne comprend pas votre question : Un isomorphisme de où vers quoi ?

invite9b650739 · 10/09/2011, 18h48

Bonjour,
oups,j'ai pas bien précisé

$\text{[math]}$ est un isomorphisme de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ , et je veux montrer qu'il est aussi un isomorphisme de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$

**Tiky** · 10/09/2011, 19h22

Cela voudrait dire que X et M sont isomorphes... Pas très intéressant.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite9b650739 · 10/09/2011, 19h28

comment ça, j'arrive pas à vous suivre?

j'ai trouvé cela dans une démonstration, mais ils n'ont pas justifier pour est ce que $\text{[math]}$ serait un isomorphisme sur $\text{[math]}$

invitea0db811c · 10/09/2011, 19h31

Dans le cas trivial où X est de dimension finie T est bien un isomorphisme de X vers X* car l'hypothèse entraine N={0}.

Pour le cas où X est de dimension infinie... Je suppose qu'il faut montrer qu'il existe un isomorphisme entre X et X*.
A vue de pif je dirais qu'il faut montrer que M est isomorphe à X.

invite9b650739 · 10/09/2011, 19h37

en plus de ces hypothese, on a $\text{[math]}$ un operateur linéaire, injectif, symmétrique, et positif,et sa restriction à M est un isomorphisme,
donc après avoir ecrit: $\text{[math]}$ , et la supposition que $\text{[math]}$ est de dimension finie, commet dois-je montrer que $\text{[math]}$ est aussi un isomorphisme sur $\text{[math]}$

Merci encore..

invitea0db811c · 10/09/2011, 19h44

avec ces hypothèse N est de dimension nulle

invite9b650739 · 10/09/2011, 19h49

mais pourquoi, je ne vois pas très clair, pourquoi serait-il ainsi???

Merci..

invitea0db811c · 10/09/2011, 20h17

Soit x dans N. T(x) est dans X*.
Alors il existe y dans M tel que T(y)=T(x).
Donc par injectivité y=x. Or N inter M = {0}.
Donc x=0.
Donc N = {0}

invite9b650739 · 10/09/2011, 20h39

okk, je comprend très bien mainetenant..merci beaucoup,

une autre question s'il vous plait..,
si je suppose que $\text{[math]}$ n'était pas complet, et je prend $\text{[math]}$ son complété, tel qu'il est un espace de Hilbert( ie sa norme decoule d'un P.S)
et $\text{[math]}$ un fermé de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ aussi, alors j'aurai: $\text{[math]}$
et je prend $\text{[math]}$

et avec les memes hypothese, ce résultat serait-il toujours valable pour N???

Merci encore...

invite9b650739 · 10/09/2011, 22h13

maintenant il y a une autre question qui me préoccupe, T serait un isomorphisme parce que N est réduit à {0},
mais on a pas utiliser la condition que N est de dimension finie, alors que c'est la condition importante..???

Merci encore pour votre aide..

somme directe et isomorphisme

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Re : somme directe et isomorphisme

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