somme directe et isomorphisme

[invite9b650739]

Bonjour les matheux..

j'ai une petite question,alors voila:
si est un espace de Banach, et si , est un fermé dans et est de dimension finie.
et en plus, on a un isomorphisme sur , peut on deduire que est un isomorphisme sur .

Merci beaucoup pour votre aide...
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[thepasboss]

Bonjour,

Je ne comprend pas votre question : Un isomorphisme de où vers quoi ?

[invite9b650739]

Bonjour,
oups,j'ai pas bien précisé

est un isomorphisme de vers , et je veux montrer qu'il est aussi un isomorphisme de vers

[Tiky]

Cela voudrait dire que X et M sont isomorphes... Pas très intéressant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b650739]

comment ça, j'arrive pas à vous suivre?

j'ai trouvé cela dans une démonstration, mais ils n'ont pas justifier pour est ce que serait un isomorphisme sur

[thepasboss]

Dans le cas trivial où X est de dimension finie T est bien un isomorphisme de X vers X* car l'hypothèse entraine N={0}.

Pour le cas où X est de dimension infinie... Je suppose qu'il faut montrer qu'il existe un isomorphisme entre X et X*.
A vue de pif je dirais qu'il faut montrer que M est isomorphe à X.

[invite9b650739]

en plus de ces hypothese, on a un operateur linéaire, injectif, symmétrique, et positif,et sa restriction à M est un isomorphisme,
donc après avoir ecrit: , et la supposition que est de dimension finie, commet dois-je montrer que est aussi un isomorphisme sur

Merci encore..

[thepasboss]

avec ces hypothèse N est de dimension nulle

[invite9b650739]

mais pourquoi, je ne vois pas très clair, pourquoi serait-il ainsi???

Merci..

[thepasboss]

Soit x dans N. T(x) est dans X*.
Alors il existe y dans M tel que T(y)=T(x).
Donc par injectivité y=x. Or N inter M = {0}.
Donc x=0.
Donc N = {0}

[invite9b650739]

okk, je comprend très bien mainetenant..merci beaucoup,

une autre question s'il vous plait..,
si je suppose que n'était pas complet, et je prend son complété, tel qu'il est un espace de Hilbert( ie sa norme decoule d'un P.S)
et un fermé de et de aussi, alors j'aurai:
et je prend

et avec les memes hypothese, ce résultat serait-il toujours valable pour N???

Merci encore...

[invite9b650739]

maintenant il y a une autre question qui me préoccupe, T serait un isomorphisme parce que N est réduit à {0},
mais on a pas utiliser la condition que N est de dimension finie, alors que c'est la condition importante..???

Merci encore pour votre aide..