Norme intégrale avec poids.

[invite3c51923e]

Bonjour,
Soit E l'espace des fonctions continues sur le segment [a,b] de R, à valeurs dans R ou C.
Soit w un élément de E. On définit, pour tout élément f de E,



Est ce que le fait que w ne s'annule pas sur [a,b] est une condition nécessaire pour que N soit équivalent à la norme N1 usuelle?

Après une longue réflexion et des débuts de preuve / tentatives de contre-exemple infructueux, je n'ai toujours pas la moindre idée de la réponse et encore moins de la preuve.

Merci,
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[invite3c51923e]

Bon je suppose que ma question n'est pas très intéressante

Personne ne voit directement (ou connait) la réponse? Car ça m'aiderai déjà bien de savoir ce que je dois montrer.

Merci,

[invitea07f6506]

Par norme , je suppose que tu entends :



Dans ce cas, il y a équivalence entre " ne s'annule pas sur [a,b]" et "les normes et sont équivalentes". Le sens direct est assez simple ( étant continue, si elle ne s'annule pas alors sa valeur absolue est bornée et bornée inférieurement à distance de ). Mais c'est le sens indirect qui t'intéresse...

Supposons que s'annule sur . Soit tel que . Maintenant, on va exploiter la continuité de , qui est essentielle. Donnons-nous donc un , et un tel que si .

Maintenant, construis une fonction , continue sur et telle que, par exemple, si et si et . Une telle fonction va nous permettre de regarder ce qu'il se passe près de .
* Minorer .
* Majorer .
* Que se passe-t-il si on fait tendre vers ?

[invite3c51923e]

Merci d'avoir pris le temps de me répondre, les explications étant de plus clair =)
Étant un peu fatigué ce soir, je regarderais ça en détail demain, j'avais bien pensé à une solution de ce type mais mon choix dans les fonctions devait être moins judicieux ^^

[A voir en vidéo sur Futura]