(intégrale, limite) Norme infinie

[invitec317278e]

un exercice plus drôle, c'est par exemple ça :

Montrer que tend vers , pour f continue positive.



ndFlyingsquirrel : discussion créée à partir d'un hors-sujet sur le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...exercices.html
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[Universus]

Montrer que tend vers , pour f continue positive.

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Soit , alors pour tout élément de l'intervalle , on a (par définition). Étant donné que les fonctions et sont croissantes sur et étant dans cet intervalle, on a que l'intégrale

et est donc à la limite inférieure ou égale à . Est-ce que est un équivalent de ? À la limite, on a :

avec égalité uniquement là où (le ou les endroit(s) où) . Supposons que sur des intervalles finis (i.e. non nuls) qui, en tout, couvrent un intervalle (qui clairement est ), i.e. ). On a donc que :

Ainsi :

Dans le cas où en des points particuliers, alors on dit que

(l'évaluation de la limite en avant celle en se justifie quelque peu par la continuité de l'intégrale par rapport à ). Ainsi, on a que montré que est un équivalent de .

[invitec317278e]

Universus, peux tu expliquer cette partie de ta démo ? :

Dans le cas où en des points particuliers, alors on dit que

Qu'est-ce que le epsilon intervenant dans la limite ?
(epsilon étant aussi un ensemble...)

[Universus]

J'ai peut-être fait des erreurs, ce bout là m'a fait réfléchir et douter longtemps. Je me rends compte là qu'il y a peut-être un truc de pas rigoureux là-dedans... fort probablement en fait, je semble faire passer la limite à travers les parenthèses en partie, enfin je semble faire quelque chose de bizarre...

L'idée était que si f(x) est une constante pour tout x, alors on a que l'intégrale du terme (f(x)/gamma)^n = 1^n = 1 vaut b-a, peu importe le n. La limite en n n'a donc pas lieu là. Si on élève cet intégrale à la puissance 1/n, on cherche à évaluer quand n tend vers l'infini (b-a)^(1/n), soit (b-a)^0, soit 1. De cela, on tire que pour le cas de la fonction f(x)=constante, ce que tu dis est vrai (et c'est plutôt intuitif). Or, on se rend compte que peu importe l'intervalle b-a, le résultat fonctionne. Alors supposons que la fonction f(x) soit égale à son maximum sur l'intervalle [a,b] sur différents sous-intervalles éléments de [a,b]. Sur ces sous-intervalles, f(x)/gamma = 1 et ailleurs, c'est plus petit que 1, pour tout n. Alors on sépare l'intégrale en deux parties : l'intégrale sur l'intervalle (qui vaut ) et celle qui ne l'est pas. Voilà où ça manque de rigueur, car j'évalue la limite en n déjà une fois, et de ce résultat, je l'évalue en prenant en compte l'exposant 1/n...

Enfin... le manque de rigueur ne vient pas du moment où je considère un tendant vers 0, mais dans le cas général. On peut passer par le binôme de Newton généralisé pour trouver une série valant et là il serait rigoureux d'évaluer la limite... Enfin bon ça semble pas être la façon dont vous procéderiez, qui serait plus simple et plus directe j'en suis sûr... enfin, je n'ai pas le temps de regarder ça plus longtemps pour le moment...

Edit : epsilon est bien un intervalle, mais c'est comme si (ouais... c'est douteux XD, pas rigoureux pour deux cents...) (le x des bornes ici étant le ''a'' d'un sous-intervalle....)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Justement, "la" difficulté de cet exo est d'être rigoureux, et de ne pas se laisser emporter par des élans de démonstration graphique^^

Ainsi, autant, si on suppose que la fonction est simple et vaut son maximum sur de vrais segments de [a,b], ça doit être assez simple à traiter de manière élémentaire, autant, dans le cas général où la fonction peut valoir son maximum en une infinité de points de [a,b], mais pas forcément sur des segments, c'est plus dur. Et je ne pense point qu'il y ait de salut sans retour au définitions (c'est pour ça que je l'ai introduit comme étant un exo de sup' : les définitions des limites suffisent, pas besoin de grands théorèmes, mais il faut revenir aux définitions (en tout cas je n'ai pas trouvé de solution élémentaire).)

[Universus]

les définitions des limites suffisent, pas besoin de grands théorèmes, mais il faut revenir aux définitions (en tout cas je n'ai pas trouvé de solution élémentaire).)

J'avais pensé à la définition, mais vu que je n'ai jamais pris vraiment le temps de me faire la main de cette définition, encore moins pour une limite à l'infini (mais j'imagine que ce détail se contourne par changement de variable), je n'ai pas poursuivi sur ce chemin.

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Supposons donc qu'il y ait un ensemble d'intervalle éléments de tel que . On a :



Vu que l'intégrande de tend vers 0 au fur et à mesure que n grandit, il faut que tende aussi vers 0 à la limite.

Cela implique que .

Ce résultat est vrai pour n'importe quelle valeur finie . Par continuité, cela doit être vraie pour une fonction qui n'atteint son maximum qu'en des points singuliers (cela se justifie aussi par l'expression de l'intégrale à partir de sommes de Riemann)

Autrement, je vais y penser pour passer par la définition

[invite9a322bed]

Universus c'est un topic niveau TS/TS+...Enfin bon.....

[invitec317278e]

Mx6 ==> l'exo ne demande aucune connaissance particulière, mise à part la définition avec les epsilon d'une limite.

Universus, ça va devenir compliqué lorsque tu envisageras le cas de fonction qui prennent leurs valeurs maximales sur une infinité de points, et que tu scinderas l'intégrale comme tu l'as fait. Tu risques de te heurter à un problème de sens de ce que tu écriras.

[Universus]

Bonsoir,

Universus c'est un topic niveau TS/TS+...Enfin bon.....

Mais je n'utilise rien de difficile, à part définir des termes avec des symboles particuliers... je ne comprends pas, oui j'ai peut-être une tournure d'esprit à amener des solutions longues, barbantes, peu intéressantes et finalement erronées, mais outre cela, je n'ai rien utilisé de révolutionnaire ; vous apportez souvent des solutions si brillantes à des problèmes posés ici que je me dis que je dois vraiment mal expliqué pour paraître incompréhensible

Universus, ça va devenir compliqué lorsque tu envisageras le cas de fonction qui prennent leurs valeurs maximales sur une infinité de points, et que tu scinderas l'intégrale comme tu l'as fait. Tu risques de te heurter à un problème de sens de ce que tu écriras.

Je pollue peut-être beaucoup de fils avec mes interventions et mes questions... mais je ne comprends pas là, je dois te demander . Ma démarche ne me semble pas se préoccuper du nombre de points où la fonction atteint son maximum. C'est sûr par contre que si [a,b] sont les réels par exemple,f(x) = constante, une attaque directe du problème sur cet intervalle serait problématique, mais si on commence avec des intervalles finis, il me semble que ma méthode fonctionne... en passant par des limites sur la largeur de [a,b], ça fonctionnerait... Il en va de même pour l'exemple d'une fonction sinusoïdale, non? Enfin bon, peut-être pas besoin de m'expliquer dans le détail ce que je fais de mal, étant donné que ça ne semble pas être le type de ''démonstration'' qui soit attendue sur le forum ; il n'est donc pas d'intérêt général de s'attarder trop longuement sur ce cas... Je réfléchis toujours pour la démo par les limites.

[invitec317278e]

le problème, c'est que l'intégrale d'une fonction continue sur un segment, on connait, no souci, c'est parfaitement défini au niveau bac+1. En revanche, quand tu prends l'intégrale sur une infinité de points éventuellement très proches, ou sur une infinité d'intervalles ouverts infiniment petits, tu vas te heurter à des problèmes de définition.

Exemple : sachant que l'intégrale sur un point isolé est nulle, on peut prendre la fonction constante égale à 1, et l'intégrer uniquement sur [1/2,1/2], ça vaudra 0 : on l'intègre sur un point.

Maintenant, on peut aller plus loin, et dire "Q est une partie de R qui n'est constituée d'aucun intervalle de R, donc ce ne sont que des points isolés dans R, donc, on peut intégrer sur Q et l'intégrale vaut 0 puisqu'on intègre sur un ensemble de points isolés.
De même on intègre sur R\Q (R privé de Q), et l'intégrale vaut 0.

Ainsi, on a :


Voilà le genre de problème que je voulais soulever concernant l'intégration sur des endroit atypiques.

[inviteaeeb6d8b]

le problème, c'est que l'intégrale d'une fonction continue sur un segment, on connait, no souci, c'est parfaitement défini au niveau bac+1.
(...)
Maintenant, on peut aller plus loin, et dire "Q est une partie de R qui n'est constituée d'aucun intervalle de R, donc ce ne sont que des points isolés dans R, donc, on peut intégrer sur Q et l'intégrale vaut 0 puisqu'on intègre sur un ensemble de points isolés.
De même on intègre sur R\Q (R privé de Q), et l'intégrale vaut 0.

Ainsi, on a :

Pour faire ce genre de choses, "il faut" disposer de la théorie de la mesure. Avec l'intégrale au sens de Lebesgue, on a :

[Universus]

Merci Thorin pour la précision ; avec le commentaire Romain-des-Bois, cela semble donc devenir d'un autre niveau... mais malgré tout, je ne suis pas totalement persuadé que ça ne fonctionne pas... C'est que l'argument que tu soulève, c'est-à-dire celui que l'intégrale ''d'un point isolé'' est nulle me causait problème quand je réfléchissais à ma tentative de démonstration. C'est que si nous avons à faire à une fonction qui atteint son maximum sur un (sous-)intervalle fini (non infini et non nul), alors on se rend compte que le résultat est indépendant de la largeur de l'intervalle, ton problème est démontré dans ce cas. Pour une fonction qui atteint son maximum sur un intervalle infini, on passe par des limites en faisant grandir un intervalle fini. Pour une fonction qui peut atteindre son maximum en des points isolés, j'avais donc pensé en quelque sorte l'approximer avec des sommes de Riemann (modifiées de telle sorte que la largeur des rectangles n'est pas nécessairement constante, de telle sorte que (k dénotant le nombre de rectangles depuis la borne inférieure a)). Les points isolés n'en serait pu. L'ensemble des rectangles associés aux ''points isolés avec f maximale'' pourrait être calculé sans aucun ordre particulier (dans ce sens que l'addition étant commutative entre réels, il n'y a pas vraiment d'importance à calculer l'air du k-ieme rectangle avant ou après celle du k+1-ieme rectangle). C'est dans ce sens que je considère l'intégrale faite sur l'ensemble des , en considérant en quelque sorte des sommes de Riemann de la fonction f(x)ⁿ et, au besoin, en faisant la limite de tendant vers 0. Si l'idée fonctionne pour des sommes de Riemann ayant des rectangles de largeur finies, pourquoi cela ne fonctionnerait-il pas aussi à la limite?

[invitec317278e]

Et bien démontre proprement tout ça si tu penses que ça peut marcher
Mais pour ça, il faudra aussi revenir un jour u l'autre à la rigueur et aux définitions(dans ton cas,définition de l'intégrale de riemannà

Définition, au passage, de la limite d'une suite en l'infini :
tend vers lorsque :
, puisque tu disais dans un autre post ne pas très bien la connaitre

[Universus]

Merci pour la définition Thorin. En fait, je la connais, mais je n'ai jamais fait les exercices donnés en classe sur le sujet, parce que sur le coup je me débrouillas bien. Avec le temps, un peu moins bien, mais pour le problème, je sèche complètement.

Mais sinon, en fait je ne vois pas en quoi mon raisonnement est si peu rigoureux que ça ; il me semble que l'idée est là, mais si vous pensez que même à cela ça ne fonctionne pas... J'aurais beau sortir une ''démonstration'' aussi longue et détaillée que possible, peut-être y aura-t-il une subtilité qui m'échappe qui la fait échouer.

Après tout, si on pense à l'intégrale d'un point qui est zéro, alors il me semble que l'intégrale de n'importe quel fonction deviendrait nul ; néanmoins, avec la théorie des intégrales de Riemann déjà, on peut plutôt voir ça de façon à ne pas faire face aux singularités qui apparaissent en travaillant directement sur les ''intervalles-points'' (je ne trouve pas de termes justes pour ce concept).

[invitec317278e]

Tant que tu expliques avec des mots, on ne peut rien dire. Peut être que si tu détaillais, tu arriverais à passer outre les difficultés de définition de l'intégrale de Riemann, mais lorsque l'on se met à écrire les choses rigoureusement, sur ce genre de problème, des difficultés apparaissent vite, et des choses qu'on pensait être faciles sont en fait des choses profondes, dures à démontrer. Tout ne "passe pas à la limite" et tout "n'est pas valable par continuité".
Le problème fondamental dans ton approche, c'est que tu sors du cadre où on définit habituellement les intégrales de Riemann, en essayant de t'y ramener quand même. Encore faut-il prouver que ta démarche pour t'y ramener est correcte.
Car je rappelle que l'intégrale de Riemann est définie sur un segment, à la base, pas sur des ensembles de points infiniment nombreux et infiniment proches les uns des autres.
Parce que les problèmes de ce genre, les problèmes posés par des fonctions qu'on intègre sur des ensembles tordus (comme c'est le cas ici), on l'a résolu en batissant une nouvelle théorie, en redéfinissant complètement les intégrales, alors, on ne peut pas se prononcer sur la validité de la méthode juste parce que tu l'expliques "avec les mains", comme on dit.

Si tu en as marre d'être frustré, n'hésite pas à demander une solution, je suis sûr que des intervenants (ou moi) pourront en fournir une

[Universus]

Je pense voir ce dont tu veux parler Thorin. Je suis au courant un peu du ‘besoin’ auquel répond la théorie de l’intégration de Lebesgue, mais sans plus ; je ne connais pas les subtilités et il m’est donc difficile un peu de bien cerner à quel point ma démarche peut à être problématique sur ce point. Ma démarche peut donc être vue comme une démonstration partielle j’imagine. Pour la démonstration passant par la définition de limite, je ne vois vraiment pas… (tu as utilisé le bon terme : j’en viens presque frustré). Mais bon, je n’abandonne pas, même si je fais peut-être un fou de moi ^^. J’ai essayé une approche différente, pas plus simple... qui doit sortir du cadre habituel de TS, mais ce ne sont pas des notions hors de portée non plus (vu que je les utilise).

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Avant tout, soit . Le couple étant dans le domaine de définition de , on a l'identité (qui se démontre avec les sommes de Riemann (je ne lâche pas, n'est-ce pas)):



Nous utiliserons cette identité plus loin. Soit une fonction, continue et positive sur un intervalle élément du domaine de définition de f et telle que son maximum (sur cet intervalle) soit 1. Toute fonction peut être ramenée à une fonction de cette forme en divisant par son maximum sur cet intervalle (comme je l'ai déjà montré). On notera ():



Étudions la croissance de .



où nous avons utilisé l'identité ci-dessus. étant compris entre 0 et 1 (on a démontré aussi dans les précédents messages qu'il en va de même pour et ), on a que est négative (donc est décroissante avec n), mais cette négativité de l'intégrale est contre-balancée par la négativité du terme précédent, de telle sorte que est croissante. Ces deux quantités étant bornées respectivement inférieurement par 0 et supérieurement par 1, il existe des quantités et comprises respectivement entre et , étant une primitive de , vers lesquelles ces suites convergent.

La dérivée précédente peut-être exprimé sous une autre forme, une équation différentielle qu'on peut résoudre :

(1)

où est une constante que nous tenterons de déterminer. Cela se réécrit :



Donc, d'après l'intervalle dans lequel se trouve , on a en prenant la limite de n à l'infini:



Ce résultat réinjecté dans (1) donne, afin de trouver une expression de :



En réinjectant à nouveau dans (1), on obtient :

.

Ce résultat s'obtient un peu plus rapidement si on peut dire (mais je n'en suis pas du tout persuadé) que .

Ainsi, on a démontré que , soit que cette opération sur une fonction plus générale tend vers le maximum de sur l'intervalle .

[invitec317278e]

Pour ne pas laisser Universus sans retour quant à sa solution (et non je ne te laisse pas tranquille):
J'ai un commentaire ici :

Étudions la croissance de .

on a une expression de la forme
quand on dérive, on a donc :

Mais il me semble que tu as zappé un de termes de la somme, et que ta dérivée est alors fausse.

Je n'ai guère le temps de regarder plus en détail ce soir, je te laisse donc vérifier.

[Universus]

Tu as raison... ça ne va pas bien mes trucs c'est fou... Je vais regardé cela! J'étais tant concentré sur la dérivée de l'intégrale que... j'en ai oublié l'exposant. Je suis un habitué de ce genre d'erreur, ça me nuit tout le temps

[invitec317278e]

si tu modifies ton raisonnement, je le lirai^^ mais pas forcément immédiatement, je travaille pendant l'été