Généralisation d'un exercice d'arithmétique.

[invite6c96930e]

Bonjour,



Je lance un appel à tous les matheux de ce forum en train de lire ces mots ^^ .
Alors voila depuis hier je me pose des questions sur un exercice d'arithmétique que j'ai voulu généraliser et ceux qui y arriveront m'empecheront de passer des nuits blanches parce qu'il me manque pas mal de connaissances pour y arriver (enfin je crois ).

Donc je le pose ici car il est toujours bon de se confronter à un problème d'arithmétique:

1). Montrer que :

, avec

2). En déduire le critère de divisibilité par 9.

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1). Raisonnement par reccurence:
*Pour , la proprité est vérifiée car
*On suppose la propriété vraie pour une valeur de arbitrairement choisie, c'est à dire que , avec alors:
avec , d'où la vérification de l'hérédité de la propriété.
*La propriété étant vraie pour la première valeur de n et étant héréditaire, est vraie .



2). On considère la décomposition en base 10 d'un nombre quelconque , on a donc , avec étant les chiffres de .
Par application du résultat précédent on obtient:



Il s'ensuit que M est un multiple de 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. CQFD

Je ne sais pas comment vous évaluer le niveau de cet exercice qui finalement est simple à comprendre mais je me suis penché, après avoir difficilement entendu les murmures de ma prof de math qui, pour s'assurer de la divisibilté d'un entier assez grand et quand je dis "assez grand" je veux dire trop grand pour que l'on puisse évaluer du premier coup d'oeil sa divisibilité par un autre (donc plus petit ) calculait la somme des chiffres de cet entier pour ensuite voir si cette somme était divisible par ; sur une généralisation de cet exercice soit:

Quels sont les critères des entiers tels que: pour qu'ils en divisent un autre il faut et il suffit qu'ils divisent la somme des chiffres de cet entier ?

J'ai entièrement rédigé la réponse à la première question qui est véritble mécanisme pour un élève arbitrairement choisi ^^ de Terminale S car je crois que la clé du problème est dans le fait que cet entier que l'on nottera doit vérifier:

, avec

(Je sais, je sais, ça fait trop de paramètres ^^).

J'ai dis que p devait respecter cette équation car on remarque après que l'entier sur lequel on posera notre démonstration (rappelons que nous sommes partis de la conclusion qui est : pour que divise , il faut et il suffit qu'il divise la somme des chiffres de ) devra s'écrire sous la forme:



A partir de là je n'arrive plus à m'acheminer jusqu'à la forme de l'ensemble des entiers satisfaisant à cette propriété de divisibilité.


Le sujet a peut-être été évoqué et peut-être que je me complique inutilement la vie avec mon amorce de démonstration mais ... ben chui nouveau koi soyez indulgents .



Merci d'avance pour toutes vos réponses et / ou indications.
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[invite6c96930e]

Excusez mes petites erreurs d'écriture dans le cadre caché.
J'ai eu du mal avec le Tex mais bon c'est plus propre comme ça quand même.
Si un modérateur pouvait modifier les petites bêtizes, ce serait parfait .

Merci.

[Universus]

Salut,

Question intéressante je trouve ; je n'ai jamais eu de professeur pour me lancer sur ce genre d'interrogation (et en fait, la dernière fois que j'ai dû faire de l'arithmétique à l'école, je ne devais pas avoir plus de 13 ans, alors...), mais je me souvenais de ces petits trucs qu'on nous donnait au primaire pour savoir facilement si un nombre était divisible ou non par un certain nombre, alors disons que j'ai déjà tenté de résoudre ce problème ^^ En fait, ça m'arrive à l'occasion quand je regarde mon réveil-matin ou que je n'ai rien à faire d'autre que de regarder l'heure dans une salle d'attente de regarder les chiffres du cadran et de tenter de repérer certaines lois entre les chiffres. J'en ai trouvé certaines, parfois bien surprenantes, mais je n'ai pas vraiment pris la peine de les écrire quelque part et... je les ai oubliées Dans ce PDF, tu trouveras une démonstration d'un résultat un peu plus général que celui que tu as démontré (il ne s'agit néanmoins pas la démonstration du cas général qui t'intéresse) et qui peut être utile dans certaines énigmes comme :

En 1999, le jour de son anniversaire, une personne atteint un âge qui est égale à la somme des chiffres permettant d'écrire (décimalement) son année de naissance. Quels sont l'âge et l'année de naissance de cette personne?

En fait, l'application de ce résultat indique directement pourquoi .

Autrement, pour ton problème, on peut considérer les valeurs de suivantes :

- est trivial
- ne fonctionne qu'une fois sur 2, puisque pour qu'un nombre soit divisible par 2, il suffit que son dernier chiffre soit pair
- est un de ces cas dont je me souviens du primaire : il faut que la somme des chiffres de M soit divisible par 3 pour que M le soit.
- ne fonctionne généralement pas puisqu'il suffit que le dernier chiffre soit 0 ou 5
- ne fonctionne pas (directement), puisque par exemple (voir le PDF pour la notation ). Il existe peut-être une idée moins directe qui permette de prendre en comte ce cas
- ne fonctionne (directement) pas sur eux-mêmes déjà.
- Tout nombre composé, pour satisfaire cette condition, doit nécessairement (mais ce n'est pas suffisant en général, comme l'indique la remarque précédente) être composé de nombre satisfaisant cette condition. Pour s'en convaincre, il faut diviser la somme des chiffres par un des facteurs de p (exemple 3 si 3 est un facteur de p) qui satisfait cette condition, puis par un autre, etc. S'il y a un seul facteur qui ne satisfasse pas cette condition, alors p ne peut la satisfaire. Ainsi, tous les nombres pairs ne la satisfont probablement pas. *

Bref, directement, je dirais que les seuls cas qui fonctionnent vraiment, ce sont .

*Probablement, parce que j'ai soudainement un petit doute ce dernier point. En fait, imaginons un cas particulier où un des facteurs de divise et , bien qu'il ne le fasse pas généralement pour ses multiples. Le résultat est peut-être aussi un cas particulier pour un autre facteur (pas nécessairement distinct de ) , et ainsi de suite. Alors l'énoncé est vérifié pour ce couple . Peut-être est-ce le cas pour tous les multiples de p. Peu probable, mais ça serait à vérifier.

Il faut remarquer que pour que ça soit utile, non seulement faut-il que si , alors , mais il faut aussi qu'il

[Universus]

Considérons comme tu l'as fait l'équation avec toutes ces variables étant des entiers naturels (non nuls pour éviter les cas triviaux), soit . Ce cas est plus simple que le cas général où serait remplacé par . Élaborons un peu la notation que j'ai utilisée dans mon PDF ainsi :

Comme tu le fais remarquer, on a :

Cela signifie que

On a aussi que si est le delta de Kronecker qui vaut 1 si et 0 sinon. Ainsi, on a que : .

Or, selon la généralisation du résultat présenté dans mon PDF, on a en particulier que , donc ici . Cette condition est celle que nous cherchons à avoir. Ainsi, est une valeur de valide. De plus, si et seulement si , on a la relation plus permissive .

Ainsi, pour savoir si un nombre divise , il faut que divise et . On démontre ainsi que dans le cas où , les seuls satisfaisant la relation sont . Tu peux aussi connaître de cette façon si un nombre est divisible par un nombre : tu dois additionner les chiffres représentants dans une base et voir si divise cette somme.

Exemple : Est-ce que 7 divise 2009? On a . Choisissons . Ainsi, , d'où b = 40 et a = 9, les autres variables étant 0. qui est divisible par , donc divise (en fait, leur quotient vaut ).

Ainsi, ton professeur avait-elle bien raison : il est possible de savoir si un nombre en divise un autre en sommant les chiffres du nombre le plus grand et voir si cette somme est divisible par le premier chiffre. La nuance par contre est qu'un nombre n'est pas écrit de façon unique, mais s'exprime selon un système de coordonnées (la base). Certains système de coordonnées sont plus propices que d'autres pour déterminer si un chiffre en divise un autre. Malheureusement, nous sommes habitués au système décimal, ce qui peut compliquer la tâche. Il serait intéressant de voir s'il n'y aurait pas une façon relativement simple, un algorithme, pour exprimer les coordonnées d'un nombre (ses chiffres) selon un système en fonction de celles d'un autre système (bref, on vient à faire de l'algèbre linéaire et à appliquer des transformations linéaires modifiant la base d'un espace vectoriel qui serait les entiers).

Merci pour la question, elle m'a amené à investiguer davantage cette question que je ne l'avais fait auparavant ^^.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c96930e]

Yo,


Alors j'ai pas mal de remarques et questions et merci pour ta contribution à cet exercice.


Tout d'abord la démonstration dans ton PDF aboutit à ma conclusion. Je suis juste passé par un intermédiaire et ce n'est pas un cas particulier (pour le critère de disivibilité de je parle hein) que de poser .
Tu me dis que ton exercice est plus général mais j'ai démontré que:
, avec posés comme chiffres de
alors que toi t' as démontré que :

Bon c'est qu'un détail mais je voulais le signaler: nos deux méthodes se valent ...


Euh j'ai pas compris comment tu aurais pu généraliser ma formule en remplacant par un entier .Comme tu l'as fait remarquer on doit écrire en base et ça donne:


T'as compris ce que je veux dire, on aurait pas pu mettre autre chose que car pour cette démonstration, l'écriture de en base conduit à la multiplication de par l'écriture de or si on veut aboutir à la dernière ligne et donc poser une conclusion sur le critère de divisibilté par on a besoin d'avoir sans aucun coefficiant. J'ai peut-être mal compris ce que tu voulais dire, si c'est le cas signale le moi .

Sinon après c'est parfait , merci beaucoup, je crois qu'on arrive à quelque chose qui a d'la gueule:

Soient :
(j'ai pas encore réfléchi aux potentielles contradictions si on travaillait dans donc je préfère rester dans ) et

Alors vérifiant:
divise si et seulement si divise .

Toute remarque ou signalisation est la bienvenue. Ce résulat est confirmé par quelques uns de mes exemples mais peut-être que j'ai zappé une condition ou que j'ai mal exprimé le "Théorème d'Universus-Zenzile" (je sais même pas si quelqu'un a dejà voulu formaliser ce truc mais bon, encore une fois : ).

Merci à Universus et à tous ceux qui pourront aider à cette généralisation que je trouve quand même intérressante.

[Universus]

Oui, tu as raison, tu l'as tout autant démontré J'étais plutôt concentré sur la première partie de ta démonstration quand je disais ça, puisque la façon dont j'ai procédée ne demande pas qu'on vérifie si satisfait particulièrement, ; on fait tout d'un coup. Mais il est clair que les deux méthodes se valent tout à fait.

Sinon, je n'ai pas remplacé dans ton équation 1 par ; non seulement on se rend compte que le résultat tombe sans le changement, mais en plus c'est plus compliqué, car (je ne veux pas dire de niaiseries, n'ayant pas vraiment étudier ce cas) n'est pas indépendant toujours du couple . Si par contre ça avait été le cas, alors ce n'aurait pas été différent du cas de 1 (dans , étant élément de , aurait obligatoirement dû diviser pour diviser M.

Pour la généralisation du résultat dans , cela me semble à vue d'oeil immédiat du fait qu'on considère des différences multiples de . Nous ne sommes pas restreints ainsi à une ou l'autre moitié de l'ensemble des entiers relatifs.

Autrement, en fait, le théorème est :

Un entier divise un nombre si et seulement si , .

Ce résultat découle simplement de l'identité avec et de la possibilité d'écrire tout entier dans une base ''arithmétique'' sous la forme . L'équation n'est qu'une conséquence de l'utilisation conjointe de ces deux résultats.

L'idée intéressante là-dedans et que ne m'était jamais aussi clairement apparue qu'à présent est que les nombres ont des propriétés vraiment intrinsèques qui apparaissent entre autres en les étudiants avec l'arithmétique modulaire (pour moi l'arithmétique modulaire c'est nouveau et l'arithmétique élémentaire est bien loin, alors permettez-moi de m'émerveiller un peu ). Néanmoins, en effectuant un choix (pratique, afin de facilité les calculs ''spécifiques'') de base selon laquelle écrire les nombres (entiers ici), on perd un peu de clarté quant aux propriétés partagées par tous les nombres entiers. Le théorème fondamental de l'arithmétique est indépendant de la base, tout comme les nombres premiers le sont dans toutes bases ; pourtant, le nombre premier ''5'' s'écrit ''12'' en base trois par exemple. Il faudrait donc écrire en base trois tout nombre sous la forme et cela est tout à fait juste. Le côté compliqué de la chose, c'est que nous sommes tant habitués à exprimer les nombres selon le système décimal que nous en sommes venus à requérir à une sorte de notation abstraite (pour reprendre l'expression de Penrose) calquée sur l'écriture des entiers en base dix pour exprimer sans référence à aucune base les nombres entiers. C'est la raison pour laquelle j'écris ici les bases en lettres plutôt qu'en chiffres, car l'utilisation des chiffres est dans ce cas justement une utilisation de la notation abstraite des entiers! Il est facile de se confondre... Il y a un peu le même problème avec les ''quantités linéaires'' tels les vecteurs et tenseurs (ce dont aborde Penrose dans son Road to Reality).

Néanmoins, ce résultat est en soi peu pratique... Il l'est si on souhaite déterminer si un entier est divisible par un, trois ou neuf, dans quel cas on exprime dans la base dix (ce qui est très simple vu qu'on exprime déjà en base dix étant donné l'utilisation de la notation abstraite). Néanmoins, c'est nettement différent autrement, car il faut utiliser des algorithmes de divisions pour pouvoir déterminer les coordonnées de dans la base voulue, coordonnées nécessaires pour déterminer qu'il faut aussi diviser... il est plus rapide de diviser directement pour voir s'il y a un reste ou non à la division. C'est pourquoi il serait intéressant peut-être de trouver une transformation permettant de trouver plus directement les coordonnées de dans une base à partir de ses coordonnées en base dix (données par la notation abstraite) ou sinon de trouver comment le théorème ci-dessous est modifié par changement de base ; par exemple, la base trois nous permet de savoir quels nombres sont pairs (il faut que la somme de leurs coordonnées soit paire), ce qui se transforme en la propriété en base dix ''un nombre est divisible par deux si le chiffre à la position des unités du nombre écrit en base dix est pair''.

[Universus]

''un nombre est divisible par deux si le chiffre à la position des unités du nombre écrit en base dix est pair''.

En fait, ce résultat peut être facilement (plus facilement que ton problème encore) généralisé. Si on exprime un entier dans une base , quelle(s) condition(s) un entier non nul doit-il satisfaire pour que si divise le chiffre à la position des unités de alors divise aussi (et vice versa)?

On a donc deux résultats différents permettant de déterminer si un entier non nul divise un entier .

[Universus]

Si on exprime un entier dans une base , quelle(s) condition(s) un entier non nul doit-il satisfaire pour que si divise le chiffre à la position des unités de alors divise aussi (et vice versa)?

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Il suffit que soit un multiple non nul de .