[TS] Exercice intégrale

[invite9a322bed]

Bonjour !!

Voici un petit exo que je trouve sympa sur les intégrales, j'ai besoin d'aide pour notamment comprendre les questions, et savoir bien rédiger.

Soit une fonction continue sur , dérivable en et .
Soit la fonction définie sur par : si et .

1/ Justifier l'existence de sur .
2/ Montrer que est continue en .
3/ Montrer que est dérivable en .

Mes réponses : Je note

Pour la 1; on a une fonction continue sur . Donc pour tout , existe. Ainsi pour tout , existe. Et comme . Alors existe bien dans .

Pour la 2, il s'agit de démontrer que . Mais je ne vois pas comment

Pour la 3, il suffit de calculer : . Même problème pour cette limite que la précédente !
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[invitec317278e]

héhé !
je t'aide un peu pour la 2, tu feras la 3 seul.
traduis
en terme de primitive...normalement, tu dois reconnaitre quelque chose de très connu en regardant ensuite le quotient.

[invite9a322bed]

si est la primitive de alors, on obtient (en faisant la limite en 0) . Or . Merci Thorin !

Pour la 3 ,

On a donc .

Soit . Et comme est dérivable sur alors et donc aussi. D'où dérivable en.

[NicoEnac]

Bonjour,

Ainsi pour tout , existe.

0 appartient à I non ? L'implication n'est donc pas si immédiate.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Oui je voulais poser

[invite93e0873f]

On a donc .

Pouvez-vous m'expliquer s'il-vous-plaît comment vous parvenez à ceci, parce qu'à partir de la définition de F(x), j'ai plutôt :



Après manipulations et en se servant de la définition de F et de g, on peut mettre ça sous la forme finale :



Comme le fait remarquer mx6, mais avec cette expression de F'(x) plutôt (en prenant aussi en compte que f est dérivable en 0 (mais pas nécessairement sur I en entier)):



car , d'où :



La limite existant donc, F est dérivable en 0.

[invite9a322bed]

, une petite erreur qui s'est glissé, j'avais considérer le 1/x comme une constante. Je vais analyser ta méthode ce soir, là pas le temps !

[invite93e0873f]

D'accord ^^. En passant, une erreur s'est glissée à la toute fin, on ne sait pas que vaut , mais j'ai supposé (une erreur en me mélangeant avec ) qu'elle valait 0. Ce n'est pas nécessairement le cas. Mais néanmoins, on a , qui existe puisque existe.

Bonne journée

[invitebe08d051]

Bonjour
Des que j'ai vu la fonction je savais qu'il faut utiliser le TAF, donc voici la réponse que je propose pour la 2):

On a une fonction continue sur
Donc elle admet une primitive continue et dérivable sur
Soit
On a est continue sur et dérivable sur et différent de donc d'après le TAF :
tel que:
Donc
d'où
Or quand tend vers tend vers d'après le théorème de gendarme.
Donc quand tend vers, tend vers
D'ou .
Donc est continue en

Je sens que ya quelque chose qui tourne pas rond !!!!

[invitebe08d051]

RE

Faudra justifier que
pas grave je l'écrirai demain matin( trop fatigué)

Cordialement

[invitefa636c3d]

ton raisonnement est correct mimo13, il n'y a pas besoin de chercher à montrer quer G(0)=0 , d'ailleurs pourquoi G(0) vaudrait 0 ??

En effet l'intégrale de 0 à x de f vaut, par definition, G(x)-G(0)....

[invitec317278e]

C'est surtout que c'est un peu prendre un obus pour déterrer une taupe, son raisonnement

Pour la continuité de F, il suffit de dire que
Or, G est dérivable de dérivée f en 0, donc ce taux d'accroissement a une limite nulle, égale à f(0) en 0.

Pis le TAF, c'pas un truc de TS, aussi

[invite02e16773]

Bonjour

[...]ce taux d'accroissement a une limite nulle, égale à f(0) en 0.

Je sais que je pinaille, mais ne voulais-tu pas plutôt dire "limite finie" ?

[invitec317278e]

non, il a une limite égale àf(0), ie nulle puisque f(0)=0

[invitebe08d051]

En effet l'intégrale de 0 à x de f vaut, par definition, G(x)-G(0)....

Très correct Merci

Pis le TAF, c'pas un truc de TS, aussi

Oh que si !!!!

Je rappelle que je suis en TS enfin en MP maintenant

[invite9a322bed]

Je rappelle que je suis en TS enfin en MP maintenant

Non, MPSI.... (quel lycée ? si c'est pas trop discret^^)

[invitebe08d051]

Non, MPSI.... (quel lycée ? si c'est pas trop discret^^)

Je sais tres bien c'était pour plaisanter
Je suis admis à la martiniere Montplaisir

[invitec317278e]

Très correct Merci



Oh que si !!!!

Je rappelle que je suis en TS enfin en MP maintenant

tu peux être en TS , mais ça empêche pas que le TAF n'est pas au programme

[invitebe08d051]

tu peux être en TS , mais ça empêche pas que le TAF n'est pas au programme

Je rappelle qu'on est pas obligé de donner des réponses niveau TS parce que mx6 lui n'ont plus n'est pas en TS.

Cordialement

[invitec317278e]

oui mais pour celle là yavait (beaucoup) plus simple

au passage, la solution d'universus à la question 3) n'est pas valable