[TS] Exercice intégrale

invite9a322bed · 07/07/2009, 10h54

Bonjour !!

Voici un petit exo que je trouve sympa sur les intégrales, j'ai besoin d'aide pour notamment comprendre les questions, et savoir bien rédiger.

Soit $\text{[math]}$ une fonction continue sur $\text{[math]}$ , dérivable en $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ la fonction définie sur $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

1/ Justifier l'existence de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .
2/ Montrer que $\text{[math]}$ est continue en $\text{[math]}$ .
3/ Montrer que $\text{[math]}$ est dérivable en $\text{[math]}$ .

Mes réponses : Je note $\text{[math]}$

Pour la 1; on a $\text{[math]}$ une fonction continue sur $\text{[math]}$ . Donc pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ existe. Ainsi pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ existe. Et comme $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ existe bien dans $\text{[math]}$ .

Pour la 2, il s'agit de démontrer que $\text{[math]}$ . Mais je ne vois pas comment

Pour la 3, il suffit de calculer : $\text{[math]}$ . Même problème pour cette limite que la précédente !

invitec317278e · 07/07/2009, 11h20

héhé !
je t'aide un peu pour la 2, tu feras la 3 seul.
traduis
$\text{[math]}$ en terme de primitive...normalement, tu dois reconnaitre quelque chose de très connu en regardant ensuite le quotient.

invite9a322bed · 07/07/2009, 11h35

si $\text{[math]}$ est la primitive de $\text{[math]}$ alors, on obtient (en faisant la limite en 0) $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ . Merci Thorin !

Pour la 3 ,

On a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ . Et comme $\text{[math]}$ est dérivable sur $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ aussi. D'où $\text{[math]}$ dérivable en $\text{[math]}$ .

**NicoEnac** · 07/07/2009, 14h31

Bonjour,

Envoyé par mx6

Ainsi pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ existe.

0 appartient à I non ? L'implication n'est donc pas si immédiate.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite9a322bed · 07/07/2009, 14h33

Oui je voulais poser $\text{[math]}$

**Universus** · 07/07/2009, 15h09

Envoyé par mx6

On a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

Pouvez-vous m'expliquer s'il-vous-plaît comment vous parvenez à ceci, parce qu'à partir de la définition de F(x), j'ai plutôt :

$\text{[math]}$

Après manipulations et en se servant de la définition de F et de g, on peut mettre ça sous la forme finale :

$\text{[math]}$

Comme le fait remarquer mx6, mais avec cette expression de F'(x) plutôt (en prenant aussi en compte que f est dérivable en 0 (mais pas nécessairement sur I en entier)):

$\text{[math]}$

car $\text{[math]}$ , d'où :

$\text{[math]}$

La limite existant donc, F est dérivable en 0.

invite9a322bed · 07/07/2009, 15h24

$\text{[math]}$ , une petite erreur qui s'est glissé, j'avais considérer le 1/x comme une constante. Je vais analyser ta méthode ce soir, là pas le temps !

**Universus** · 07/07/2009, 15h30

D'accord ^^. En passant, une erreur s'est glissée à la toute fin, on ne sait pas que vaut $\text{[math]}$ , mais j'ai supposé (une erreur en me mélangeant avec $\text{[math]}$ ) qu'elle valait 0. Ce n'est pas nécessairement le cas. Mais néanmoins, on a $\text{[math]}$ , qui existe puisque $\text{[math]}$ existe.

Bonne journée

invitebe08d051 · 12/07/2009, 02h07

Bonjour
Des que j'ai vu la fonction je savais qu'il faut utiliser le TAF

, donc voici la réponse que je propose pour la 2):

On a $\text{[math]}$ une fonction continue sur $\text{[math]}$
Donc elle admet une primitive $\text{[math]}$ continue et dérivable sur $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$
On a $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ et dérivable sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ différent de $\text{[math]}$ donc d'après le TAF :
$\text{[math]}$ tel que: $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
d'où $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
Or quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ d'après le théorème de gendarme.
Donc quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$
D'ou $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ est continue en $\text{[math]}$

Je sens que ya quelque chose qui tourne pas rond !!!!

invitebe08d051 · 12/07/2009, 02h10

RE

Faudra justifier que $\text{[math]}$
pas grave je l'écrirai demain matin( trop fatigué)

Cordialement

invitefa636c3d · 12/07/2009, 09h35

ton raisonnement est correct mimo13, il n'y a pas besoin de chercher à montrer quer G(0)=0 , d'ailleurs pourquoi G(0) vaudrait 0 ??

En effet l'intégrale de 0 à x de f vaut, par definition, G(x)-G(0)....

invitec317278e · 12/07/2009, 10h31

C'est surtout que c'est un peu prendre un obus pour déterrer une taupe, son raisonnement

Pour la continuité de F, il suffit de dire que $\text{[math]}$
Or, G est dérivable de dérivée f en 0, donc ce taux d'accroissement a une limite nulle, égale à f(0) en 0.

Pis le TAF, c'pas un truc de TS, aussi

**Guillaume69** · 12/07/2009, 18h33

Bonjour

Envoyé par Thorin

[...]ce taux d'accroissement a une limite nulle, égale à f(0) en 0.

Je sais que je pinaille, mais ne voulais-tu pas plutôt dire "limite finie" ?

invitec317278e · 12/07/2009, 18h49

non, il a une limite égale àf(0), ie nulle puisque f(0)=0

invitebe08d051 · 13/07/2009, 00h50

Envoyé par jameso

En effet l'intégrale de 0 à x de f vaut, par definition, G(x)-G(0)....

Très correct Merci

Pis le TAF, c'pas un truc de TS, aussi

Oh que si !!!!

Je rappelle que je suis en TS enfin en MP maintenant

invite9a322bed · 13/07/2009, 08h37

Envoyé par mimo13

Je rappelle que je suis en TS enfin en MP maintenant

Non, MPSI....

(quel lycée ? si c'est pas trop discret^^)

invitebe08d051 · 13/07/2009, 13h25

Envoyé par mx6

Non, MPSI....

(quel lycée ? si c'est pas trop discret^^)

Je sais tres bien

c'était pour plaisanter

Je suis admis à la martiniere Montplaisir

invitec317278e · 13/07/2009, 13h32

Envoyé par mimo13

Très correct Merci

Oh que si !!!!

Je rappelle que je suis en TS enfin en MP maintenant

tu peux être en TS , mais ça empêche pas que le TAF n'est pas au programme

invitebe08d051 · 13/07/2009, 13h38

Envoyé par Thorin

tu peux être en TS , mais ça empêche pas que le TAF n'est pas au programme

Je rappelle qu'on est pas obligé de donner des réponses niveau TS parce que mx6 lui n'ont plus n'est pas en TS.

Cordialement

invitec317278e · 13/07/2009, 13h42

oui mais pour celle là yavait (beaucoup) plus simple

au passage, la solution d'universus à la question 3) n'est pas valable

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