Exercice d'arithmétique

[invite890931c6]

Bonjour, voici un défi que je me suis lancer qui me perturbe assez (je suis en ière S donc pas de railleries sur l'éventuelle simplicité de mon problème svp).

j'aimerais étudier le reste de la division par 17 des puissances de 8 :

j'en suis à ce stade :


donc j'étudie les restes des division de par 17 :

et la seule règle digne d'intérêt que je trouve est celle - ci



ce qui me permet d'en déduire les restes des divisions de puissances de 8 multiple de 3 et 4 pas très utile !

si quelqu'un a une piste merci de me proposer moi je vais me reposer.
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[invite1237a629]

Up, parce que ça vient de la section "exercices"
Merci la prochaine fois de créer un thread spécifique pour un exo spécifique =)

[invite71e3cdf2]

ah tiens le retour de la molette

[invite1237a629]

Bon, pour le problème en lui-même...

Il va falloir limiter tes études des puissances et pas n'importe comment

Le tout est de constater qu'il y a une récurrence des restes dans la division par 17, selon la puissance.

On sait d'après le petit théorème de Fermat (cf wikipedia ) que

Donc on exprimera les restes dans la division par 17 de 8 à la puissance tous les nombres modulo 16, càd 0,1,...,14,15.

Pourquoi ? parce que imagine que tu as . Ceci implique que , où k est un entier et r un entier compris entre 0 et 15.

, d'après les propriétés des exposants.
Or, . Donc .


On en déduit que , ce qui revient bien à étudier 8 à la puissance les entiers de 0 à 15.



Je ne sais pas si c'est assez clair ? :s


@ Infra_Red : lol

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite890931c6]

bonjour, autre problême :

j'aimerais trouver une méthode pour pouvoir déterminer les solutions des equations de la forme :

dans

j'ai déja fais l'ébauche d'une méthode qui théoriquement devrait marcher mais que je n'arrive pas à appliquer.

on note suite géométrique de raison et ;
somme des ses premiers termes.
on a donc
or ;
donc ;


et pourtant quand on remplace en haut cela ne fonctionne pas. ou est l'erreur ?

[invitedfc9e014]

alors ta somme géométrique vaut bien
.
Le souci, c'est que toi tu as cherché sans tenir compte de .
Réfléchis à nouveau et tu verras que tu n'as fait que trouver les solutions possibles de l'équation. Reste à montrer qu'elles sont bien solutions. (d'ailleurs, réfléchis un peu sur la parité de , un détail que tu as oublié n'est cependant pas déterminant). Les solutions dépendent le la parité de n.

 Cliquez pour afficher

en fait


où est signe de
reste à montrer les solutions qui marchent.
pour pair, ça marche bien ok.
pour impair, aucune des solutions ne marche. (tu peux comprendre pourquoi en regardant
enfin, je crois que c'est juste

[danyvio]

Si sin(x) (donc q) vaut 1, la division par (q-1) dans l'expression de Sn est pour le moins interdite...

[invitedfc9e014]

au passage ta formule est vraie quand .
Il faudrait en fait si on veut être propre que n'est pas solution au préalable si tu veux avoir le droit d'utiliser la somme géométrique.

PS: pour mon post précédent dans le spoiler

 Cliquez pour afficher

il faudrait lire, pair, ça ne marche pas et impair seule la solution marche

[inviteaefbdd28]

Bonjour, voici un défi que je me suis lancer qui me perturbe assez (je suis en ière S donc pas de railleries sur l'éventuelle simplicité de mon problème svp).

Si ça peut te rassurer : je passe en prépa BCPST, je viens d'avoir 18 à mon Bac S, et je n'ai rien compris à ton topic

Désolé de jouer le boulet sur ce coup-là, mais si quelqu'un pouvait m'expliquer ça m'intéresse beaucoup... mais quand je dis expliquer, c'est depuis le début, que veulent dire les signes "égal" avec 3 barres etc.

Oui, je devrais avoir (/j'ai) honte

[danyvio]

Le signe signifie en général : équivalent . Par ex les identités remarquables devraient s'écrire :
(A+B)²A²+2AB+B² car c'est toujours vrai, il y a identité
Dans le cas du problème exposé, il signifie : a même reste de la division. Et on prononce (c'est très laid mais c'est comme ça)
18 congru à 1 modulo 17

[inviteec581d0f]

18 congru à 1 modulo 17

et ça veut surtout dire que 18 - 1 est divisible par 17

[inviteaefbdd28]

Ok, merci beaucoup à vous deux !
Je vais essayer de comprendre maintenant

[inviteba9bce0d]

et ça veut surtout dire que 18 - 1 est divisible par 17

Ou encore, 18 = 1x17 + 1 et donc d'aprés les propriétés des modulo:


On fait passer le reste a gauche. Je suis un peu lourd, mais avec çà bambalam comprendra ptétre mieu.

[inviteec581d0f]

Ou encore, 18 = 1x17 + 1 et donc d'aprés les propriétés des modulo:


On fait passer le reste a gauche. Je suis un peu lourd, mais avec çà bambalam comprendra ptétre mieu.

Tu n'es pas lourd, mais précis ^^

[inviteaefbdd28]

Je suis un peu lourd, mais avec çà bambalam comprendra ptétre mieu.

Non, pas lourd du tout, merci beaucoup univscien, ça m'aide

[invite890931c6]

Mystic_snake dans toutes ces valeurs interdites je perds un peu ton raisonnement

je comprend que et que est impossible.
seulement la ou je ne te suis plus c'est quand tu arrives a trouver que pour impair est solution. en effet pour et pas 1...

pour que je comprenne la notion nous allons travailler sur un exemple plus parlant si tu veux bien.

pour la somme on a une suite géométrique de raison et de premier terme . d'ou analytiquement les solutions :

S = { -1 ; 0} sur / {1} . car équivaut à forcément pair et .

maitenant avec une somme du type :



on cette fois pour aller vite :
donc et forcément les solutions sont pour impairs et car 1 est interdit seulment n'est pas égale à 1 d'ou mon incompréhension si tu pouvais éclaircir ce point.

[invitedfc9e014]

Bah soit .
On cherche donc les solutions des équations de type ce qui en plus clair donne

Si on prend , on a donc ,
ainsi en "rassemblant" un terme à la puissance négative avec la puissance paire qui précède, on trouve 0 à chaque fois, ce qui donne une somme nulle non?

[invite890931c6]

tout à fait ! j'avais bien compris.

je voulais juste savoir d'où venait "l'aberration" quand je cherchais les solutions.


à priori rien ne laisse supposer que est solution.
et là où je ne comprends pas c'est pourquoi dans l'expression
marche que lorsque est impair alors que dans ; étant impair n'est pas solution. comprends- tu ce que je veux que tu m'expliques ? sinon merci de ton aide et du temps que tu m'accordes.

[invitedfc9e014]

mais je ne vois pas pourquoi tu me parles juste de en fait là. Tu sommes bien tes termes non?
et puis d'où vient ? Je ne vois pas à quoi tu fais allusion.

[invite890931c6]

donc somme des termes géométriques. d'où grace à la formule sur la somme des termes de suites géométriques :



comme et que ;


donc

et je viens de comprendre ce que je n'avais pas compris comme un grand !

[invitedfc9e014]

bon, ben tout va bien alors?