[Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

[invite2220c077]

Montrer que le nombre peut s'exprimer comme le produit de deux entiers naturels dont l'un d'eux est strictement supérieur à
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[invite2220c077]

Pour les impatients, j'ai posté ma solution ici : http://forums.futura-sciences.com/thread174211.html

Mais essayez de ne pas la regarder desuite, cet exercice vaut vraiment le coup d'être trouvé tout seul . Je précise qu'on a pas besoin d'être en T°S Spé Math (2°-1°S suffit) pour le résoudre car aucune connaissance en Arithmétique n'est demandée, seulement de la manipulation algébrique (et de la réflexion) sont requises.

[bubulle_01]

Dans ta démonstration, tu insinues que
Soit .
Cela fausse tout ^^

[invite2220c077]

Ah non, je n'ai pas écrit ça.

 Cliquez pour afficher

Remarquons que le nombre en question est de la forme avec :

avec et non . Puisque , alors on a bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

Non non non !
Faute d'inatention ^^

[invite2220c077]

Euh non, attention, on a des puissances "en escalier" :

ce n'est pas égal à mais , d'où le résultat.

[invite2220c077]

Sinon je me suis trompé dans la mise en forme, je voulais plutôt écrire :

[bubulle_01]

Ah d'accord, j'avais une incompréhension au niveau de la notation, je pensais que la puissance reprenait à chaque fois le tout.
Autant pour moi

[invite2220c077]

Pas de soucis.

[invite1237a629]

Plop,

J'ai trouvé une démonstration, mais je n'y trouve aucune subtilité alors ça m'énerve un peu... En gros, c'est juste, mais ce n'est pas la bonne réponse

(ça a été beaucoup plus simple pour moi de l'écrire plutôt que de le taper...)



(Version plus grande)

[invite35452583]

Plop,

J'ai trouvé une démonstration, mais je n'y trouve aucune subtilité alors ça m'énerve un peu... En gros, c'est juste, mais ce n'est pas la bonne réponse

(ça a été beaucoup plus simple pour moi de l'écrire plutôt que de le taper...)



(Version plus grande)

J'ai à peu près la même méthode mais en majorant autrement (j'attaque le même terme qui est le plus grand de manière évidente)



Donc

[invite35452583]

Sinon dans la manipulation de puissances successives, je connais celui-ci (plus difficile, je ne le crains) :
On considère des tours : a, a^a, a^(aa), a^(a(aa))
On note le premier de la liste a⁽¹⁾, puis a⁽²⁾, a⁽³⁾, a⁽⁴⁾...
Bref, a⁽ⁿ⁺¹⁾=a^a(n) avec a⁽¹⁾=a.
9⁽¹⁰⁰⁾ est un grand nombre mais pas infini donc pour n assez grand on a 3⁽ⁿ⁾>=9⁽¹⁰⁰⁰⁾.
Question : quel est le plus petit entier n pour lequel 3⁽ⁿ⁾>=9⁽¹⁰⁰⁰⁾ ?

[invitea9351d88]

Bonjour,
j'ai essayé de résoudre le problème qu'a posé homotopie, je ne sais pas si c'est juste.

On a :

Pour prouver que , on montrera par récurrence que

Pour on a bien:

Pour on obtient: et
Or,
Donc,
On en déduit que,
C'est à dire que :

Au final on obtient que :

Donc le plus petit entier n pour lequel est:

Vous en pensez quoi niveau rédaction et tout si ya des trucs pour mieux présenter et déjà si c'est juste.

P.S: homtopie, je pense que tu as fait une erreur dans l'énoncé au lieu de 1000 tu as écris 100.

[invite35452583]

On a :

Pour prouver que , on montrera par récurrence que

Pour on a bien:

Pour on obtient: et
Or,
Donc,
On en déduit que,
C'est à dire que :

Au final on obtient que :

Donc le plus petit entier n pour lequel est:

Rien à ajouter à part qu'en effet à force d'hésiter entre 100 et 1000 j'ai fait un mix
Encore

[invite8bc5b16d]

salut,

j'ai un peu de mal avec ce passage là

Donc,
On en déduit que,

d'où vient cette déduction ?

[invite1237a629]

Salut,

Je pense que c'est parce que comme on marche par multiples de 3, on avait au départ une inéquation stricte. Si on multiplie encore par 3, on ne risque pas de dépasser le membre de gauche (la flemme de copier ) puisque c'est un multiple de 3.

Si tu préfères, revient à dire qu'il y a au moins un facteur 3 d'écart entre les deux. Donc on peut multiplier par 3 le membre de droite et passer à une inéquation large.

Arf, c'est peut-être mal expliqué, mais mathématiquement parlant, j'ai du mal à l'exprimer

[invite8bc5b16d]

Salut,

Je pense que c'est parce que comme on marche par multiples de 3, on avait au départ une inéquation stricte. Si on multiplie encore par 3, on ne risque pas de dépasser le membre de gauche (la flemme de copier ) puisque c'est un multiple de 3.

Si tu préfères, revient à dire qu'il y a au moins un facteur 3 d'écart entre les deux. Donc on peut multiplier par 3 le membre de droite et passer à une inéquation large.

Arf, c'est peut-être mal expliqué, mais mathématiquement parlant, j'ai du mal à l'exprimer

oui effectivement je suis d'accord (j'y avais pensé mais vu que cette raison n'était pas avancée, je me demandais si il n'y avait pas un autre "truc" que je n'avais pas vu ), mais c'est le genre de trucs qu'il vaut mieux préciser dans une démonstration (et puisque patxiku demandait des remarques quant à sa démonstration )...sinon on peut aussi le faire en se traînant le +1 dès le départ dans la relation de récurrence (c'est peut-être juste un peu moins joli, quoique...)

[invitea9351d88]

oui d'ailleurs quand j'y pense c'est bête de garde le +1 tout au long vu qu'il ne sert à rien lol.
Quand j'y repense, le fait que je travail sur veut dire que à la calculette j'ai remarqué ca, je n'ai pas trouver ca par une démonstration. Yaurait pas moyen de reussir à trouver n sans passer par le cas général?

Je vais essayé de mieux détaillé la partie qui en demendé (je reprends en cours de route):
Donc, . Et, et étant des entiers alors,
On en déduit que,

Voila. Enfait je demende si il n'y a pas de solution "plu élégante" comme dirait ma prof de math spé parceque j'ai su que au concours général, ils prennent beaucoup en comlpte si la solution est élégante, si le cadidat à compris l'intêret du problème.

[invite35452583]

On peut rédiger ainsi (en exhibant la seule astuce) :
Montrons préalablement que si 3^a<3^b alors 2.3^a<3^b.
En effet, de 3^a<3^b on en déduit que a<b d'où a+1<=b.
On a donc 2.3^a<3.3^a=3^a+1<=3^b.

Montrons maintenant par récurrence que 9⁽ⁿ⁾<3⁽ⁿ⁺¹⁾ pour tout entier n>0.
Pour n=1, on a 9⁽¹⁾=9 et 3⁽¹⁺¹⁾=3⁽²⁾=3³, on a donc bien 9⁽¹⁾<3⁽²⁾
Supposons l'inégalité vraie pour n>1, comme 3(n+1) est une puissance de 3 ainsi que 9(n) qui est une puissance de 9=3² donc de 3, on a d'après le 1er résultat montré : 2.9⁽ⁿ⁾<3⁽ⁿ⁺¹⁾.
On en déduit que 9⁽ⁿ⁺¹⁾=9⁹⁽ⁿ⁾=(3²)⁹⁽ⁿ⁾=3^2.9(n)<3³⁽ⁿ⁺¹⁾=3⁽ⁿ⁺²⁾

[bubulle_01]

Juste une petite question :
Tu dis :

Pour prouver que , on montrera par récurrence que

.
Et pour démontrer cette inégalité, tu utilises justement cette inégalité pour pouvoir la démontrer en disant :

Or,

Ce détail m'échappe.
Petite précision, je n'ai pas encore étudier les demonstrations par récurrence, cela pourrait expliquer mon incompréhension ^^

[invite1237a629]

Je t'avais fait un topo

C'est l'hypothèse de récurrence. Il suppose que c'est vérifié pour le rang n, il peut s'en servir pour montrer que c'est vérifié au rang suivant.

En gros, la logique c'est ça :

- au rang 0 c'est vérifié.

- si on suppose qu'au rang n (n >= 0) c'est vérifié, alors au rang n+1 c'est vérifié. <= c'est cela qu'il faut démontrer.

Ainsi, on sait que au rang 0 c'est vérifié, donc d'après le deuxième tiret, c'est vérifié au rang 1. Puisqu'au rang 1, c'est vérifié, au rang 2, ça l'est. Et ainsi de suite...

[invitea9351d88]

si tu es intéressé ya une explication plus quelques exercices sur cette page: http://www.animath.fr/cours/recurrence.html

[invitea9351d88]

je remonte ce topic poru savoir si vous n'auriez pas d'autres exercices de ce style ou comme ca

[invite2220c077]

Suffit de demander, j'en ai à foison

Un exercice assez élégant qui ne devrait pas trop te résister à priori :

Soient m et n des entiers naturels > 1. Montrer que peut s'écrire comme la somme d'entiers impairs consécutifs.

[invite2220c077]

Un autre un peu plus délicat (ce n'est plus de l'arithmétique mais bon, je le trouve aussi assez joli) :

Trouver la valeur maximale lorsque x € [-1;1] du nombre :

[bubulle_01]

Un problème que j'ai trouvé sur le site des olympiades (la solution n'est pas proposée). J'ai quelques pistes, mais l'exercice n'est pas du tout simple :
Soit c un entier strictement positif. On note , , et le nombre de diviseurs positifs de c dont l'écriture décimale finit par , , et respectivement. Prouver que :

Pour ce qui est de tes exercices Zweig, j'ai réussi le 1^er, et je me penche sur le deuxième

[invitea9351d88]

Merci,

Pour le premier je propose:

Si m est pair alors avec k un entier relatif. Donc

Si m est impair alors avec k un entier relatif. Donc,

Voila, je ne sais pas si la dernière égalitée est assez justifié, vous en pensez quoi? Je suis preneur de toute critique sur ma rédaction ou même sur le résultat xD.

P.S Au début j'ai voulu faire par récurrence je me suis vite embarqué dans un galère à moins que là aussi j'ai loupé un truc .

Je me penche sur les deux autres problèmes.

[invite2220c077]

Désolé, erreur d'énoncé .........

Soient m et n des entiers naturels . Montrer que peut s'écrire comme la somme de entiers impairs consécutifs.

[invitea9351d88]

je me suis trompé et en plsu je dois changer vu que l'énoncé à changé.

Si m est pair alors avec k un entier relatif, on a:


Si m est impair alors avec k un entier relatif, on a:


Voila je crois que c'est bon. C'est pas assez détaillé si?

[invite8a80e525]

Je pense avoir trouvé:

Soit k un entier relatif impair,

Soit la suite avec m entier naturel superieur à 1

est la bien la somme de m entiers impairs.






On étudie la parité de pour tout m et n entiers naturels superieurs à 1
si m est pair, est pair et est pair
si m est impair, est impair et est pair.
Donc pour tout m et n entiers naturels superieurs à 1 , est pair.

k étant impair, k+1 est pair, on peut donc poser


on a alors:



Voilà, ce n'est pas forcément très élégant ni rapide mais il me semble que ça marche...