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[Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique



  1. #1
    -Zweig-

    [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Montrer que le nombre peut s'exprimer comme le produit de deux entiers naturels dont l'un d'eux est strictement supérieur à

    -----


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  3. #2
    -Zweig-

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Pour les impatients, j'ai posté ma solution ici : http://forums.futura-sciences.com/thread174211.html

    Mais essayez de ne pas la regarder desuite, cet exercice vaut vraiment le coup d'être trouvé tout seul . Je précise qu'on a pas besoin d'être en T°S Spé Math (2°-1°S suffit) pour le résoudre car aucune connaissance en Arithmétique n'est demandée, seulement de la manipulation algébrique (et de la réflexion) sont requises.

  4. #3
    bubulle_01

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Dans ta démonstration, tu insinues que
    Soit .
    Cela fausse tout ^^

  5. #4
    -Zweig-

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Ah non, je n'ai pas écrit ça.

     Cliquez pour afficher
    avec et non . Puisque , alors on a bien
    Dernière modification par -Zweig- ; 03/01/2008 à 14h29.

  6. #5
    bubulle_01

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Non non non !
    Faute d'inatention ^^

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    -Zweig-

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Euh non, attention, on a des puissances "en escalier" :

    ce n'est pas égal à mais , d'où le résultat.

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  10. #7
    -Zweig-

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Sinon je me suis trompé dans la mise en forme, je voulais plutôt écrire :


  11. #8
    bubulle_01

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Ah d'accord, j'avais une incompréhension au niveau de la notation, je pensais que la puissance reprenait à chaque fois le tout.
    Autant pour moi

  12. #9
    -Zweig-

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Pas de soucis.

  13. #10
    MiMoiMolette

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Plop,

    J'ai trouvé une démonstration, mais je n'y trouve aucune subtilité alors ça m'énerve un peu... En gros, c'est juste, mais ce n'est pas la bonne réponse

    (ça a été beaucoup plus simple pour moi de l'écrire plutôt que de le taper...)



    (Version plus grande)
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  14. #11
    homotopie

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Plop,

    J'ai trouvé une démonstration, mais je n'y trouve aucune subtilité alors ça m'énerve un peu... En gros, c'est juste, mais ce n'est pas la bonne réponse

    (ça a été beaucoup plus simple pour moi de l'écrire plutôt que de le taper...)



    (Version plus grande)
    J'ai à peu près la même méthode mais en majorant autrement (j'attaque le même terme qui est le plus grand de manière évidente)



    Donc

  15. #12
    homotopie

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Sinon dans la manipulation de puissances successives, je connais celui-ci (plus difficile, je ne le crains) :
    On considère des tours : a, aa, a(aa), a(a(aa))
    On note le premier de la liste a(1), puis a(2), a(3), a(4)...
    Bref, a(n+1)=aa(n) avec a(1)=a.
    9(100) est un grand nombre mais pas infini donc pour n assez grand on a 3(n)>=9(1000).
    Question : quel est le plus petit entier n pour lequel 3(n)>=9(1000) ?

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  17. #13
    patxiku

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Bonjour,
    j'ai essayé de résoudre le problème qu'a posé homotopie, je ne sais pas si c'est juste.

    On a :

    Pour prouver que , on montrera par récurrence que

    Pour on a bien:

    Pour on obtient: et
    Or,
    Donc,
    On en déduit que,
    C'est à dire que :

    Au final on obtient que :

    Donc le plus petit entier n pour lequel est:

    Vous en pensez quoi niveau rédaction et tout si ya des trucs pour mieux présenter et déjà si c'est juste.

    P.S: homtopie, je pense que tu as fait une erreur dans l'énoncé au lieu de 1000 tu as écris 100.

  18. #14
    homotopie

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Citation Envoyé par patxiku Voir le message
    On a :

    Pour prouver que , on montrera par récurrence que

    Pour on a bien:

    Pour on obtient: et
    Or,
    Donc,
    On en déduit que,
    C'est à dire que :

    Au final on obtient que :

    Donc le plus petit entier n pour lequel est:

    Rien à ajouter à part qu'en effet à force d'hésiter entre 100 et 1000 j'ai fait un mix
    Encore

  19. #15
    alien49

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    salut,

    j'ai un peu de mal avec ce passage là

    Donc,
    On en déduit que,
    d'où vient cette déduction ?

  20. #16
    MiMoiMolette

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Salut,

    Je pense que c'est parce que comme on marche par multiples de 3, on avait au départ une inéquation stricte. Si on multiplie encore par 3, on ne risque pas de dépasser le membre de gauche (la flemme de copier ) puisque c'est un multiple de 3.

    Si tu préfères, revient à dire qu'il y a au moins un facteur 3 d'écart entre les deux. Donc on peut multiplier par 3 le membre de droite et passer à une inéquation large.

    Arf, c'est peut-être mal expliqué, mais mathématiquement parlant, j'ai du mal à l'exprimer
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  21. #17
    alien49

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Salut,

    Je pense que c'est parce que comme on marche par multiples de 3, on avait au départ une inéquation stricte. Si on multiplie encore par 3, on ne risque pas de dépasser le membre de gauche (la flemme de copier ) puisque c'est un multiple de 3.

    Si tu préfères, revient à dire qu'il y a au moins un facteur 3 d'écart entre les deux. Donc on peut multiplier par 3 le membre de droite et passer à une inéquation large.

    Arf, c'est peut-être mal expliqué, mais mathématiquement parlant, j'ai du mal à l'exprimer
    oui effectivement je suis d'accord (j'y avais pensé mais vu que cette raison n'était pas avancée, je me demandais si il n'y avait pas un autre "truc" que je n'avais pas vu ), mais c'est le genre de trucs qu'il vaut mieux préciser dans une démonstration (et puisque patxiku demandait des remarques quant à sa démonstration )...sinon on peut aussi le faire en se traînant le +1 dès le départ dans la relation de récurrence (c'est peut-être juste un peu moins joli, quoique...)

  22. #18
    patxiku

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    oui d'ailleurs quand j'y pense c'est bête de garde le +1 tout au long vu qu'il ne sert à rien lol.
    Quand j'y repense, le fait que je travail sur veut dire que à la calculette j'ai remarqué ca, je n'ai pas trouver ca par une démonstration. Yaurait pas moyen de reussir à trouver n sans passer par le cas général?

    Je vais essayé de mieux détaillé la partie qui en demendé (je reprends en cours de route):
    Donc, . Et, et étant des entiers alors,
    On en déduit que,

    Voila. Enfait je demende si il n'y a pas de solution "plu élégante" comme dirait ma prof de math spé parceque j'ai su que au concours général, ils prennent beaucoup en comlpte si la solution est élégante, si le cadidat à compris l'intêret du problème.

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  24. #19
    homotopie

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    On peut rédiger ainsi (en exhibant la seule astuce) :
    Montrons préalablement que si 3a<3b alors 2.3a<3b.
    En effet, de 3a<3b on en déduit que a<b d'où a+1<=b.
    On a donc 2.3a<3.3a=3a+1<=3b.

    Montrons maintenant par récurrence que 9(n)<3(n+1) pour tout entier n>0.
    Pour n=1, on a 9(1)=9 et 3(1+1)=3(2)=33, on a donc bien 9(1)<3(2)
    Supposons l'inégalité vraie pour n>1, comme 3(n+1) est une puissance de 3 ainsi que 9(n) qui est une puissance de 9=3² donc de 3, on a d'après le 1er résultat montré : 2.9(n)<3(n+1).
    On en déduit que 9(n+1)=99(n)=(3²)9(n)=32.9(n)<33(n+1)=3(n+2)

  25. #20
    bubulle_01

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Juste une petite question :
    Tu dis :
    Pour prouver que , on montrera par récurrence que
    .
    Et pour démontrer cette inégalité, tu utilises justement cette inégalité pour pouvoir la démontrer en disant :
    Or,
    Ce détail m'échappe.
    Petite précision, je n'ai pas encore étudier les demonstrations par récurrence, cela pourrait expliquer mon incompréhension ^^

  26. #21
    MiMoiMolette

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Je t'avais fait un topo

    C'est l'hypothèse de récurrence. Il suppose que c'est vérifié pour le rang n, il peut s'en servir pour montrer que c'est vérifié au rang suivant.

    En gros, la logique c'est ça :

    - au rang 0 c'est vérifié.

    - si on suppose qu'au rang n (n >= 0) c'est vérifié, alors au rang n+1 c'est vérifié. <= c'est cela qu'il faut démontrer.

    Ainsi, on sait que au rang 0 c'est vérifié, donc d'après le deuxième tiret, c'est vérifié au rang 1. Puisqu'au rang 1, c'est vérifié, au rang 2, ça l'est. Et ainsi de suite...
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  27. #22
    patxiku

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    si tu es intéressé ya une explication plus quelques exercices sur cette page: http://www.animath.fr/cours/recurrence.html

  28. #23
    patxiku

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    je remonte ce topic poru savoir si vous n'auriez pas d'autres exercices de ce style ou comme ca

  29. #24
    -Zweig-

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Suffit de demander, j'en ai à foison

    Un exercice assez élégant qui ne devrait pas trop te résister à priori :

    Soient m et n des entiers naturels > 1. Montrer que peut s'écrire comme la somme d'entiers impairs consécutifs.

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  31. #25
    -Zweig-

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Un autre un peu plus délicat (ce n'est plus de l'arithmétique mais bon, je le trouve aussi assez joli) :

    Trouver la valeur maximale lorsque x € [-1;1] du nombre :


  32. #26
    bubulle_01

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Un problème que j'ai trouvé sur le site des olympiades (la solution n'est pas proposée). J'ai quelques pistes, mais l'exercice n'est pas du tout simple :
    Soit c un entier strictement positif. On note , , et le nombre de diviseurs positifs de c dont l'écriture décimale finit par , , et respectivement. Prouver que :

    Pour ce qui est de tes exercices Zweig, j'ai réussi le 1er, et je me penche sur le deuxième

  33. #27
    patxiku

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Merci,

    Pour le premier je propose:

    Si m est pair alors avec k un entier relatif. Donc

    Si m est impair alors avec k un entier relatif. Donc,

    Voila, je ne sais pas si la dernière égalitée est assez justifié, vous en pensez quoi? Je suis preneur de toute critique sur ma rédaction ou même sur le résultat xD.

    P.S Au début j'ai voulu faire par récurrence je me suis vite embarqué dans un galère à moins que là aussi j'ai loupé un truc .

    Je me penche sur les deux autres problèmes.

  34. #28
    -Zweig-

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Désolé, erreur d'énoncé .........

    Soient m et n des entiers naturels . Montrer que peut s'écrire comme la somme de entiers impairs consécutifs.

  35. #29
    patxiku

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    je me suis trompé et en plsu je dois changer vu que l'énoncé à changé.

    Si m est pair alors avec k un entier relatif, on a:


    Si m est impair alors avec k un entier relatif, on a:


    Voila je crois que c'est bon. C'est pas assez détaillé si?

  36. #30
    Forhaia

    Re : [Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

    Je pense avoir trouvé:

    Soit k un entier relatif impair,

    Soit la suite avec m entier naturel superieur à 1

    est la bien la somme de m entiers impairs.






    On étudie la parité de pour tout m et n entiers naturels superieurs à 1
    si m est pair, est pair et est pair
    si m est impair, est impair et est pair.
    Donc pour tout m et n entiers naturels superieurs à 1 , est pair.

    k étant impair, k+1 est pair, on peut donc poser


    on a alors:



    Voilà, ce n'est pas forcément très élégant ni rapide mais il me semble que ça marche...
    Dernière modification par Forhaia ; 24/01/2008 à 21h44.

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