[Olympiade] Magnifique exercice d'Arithmétique

[invite8a80e525]

Je vois que la solution de patxiku est beaucoup plus élégante que la mienne...
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[invite2220c077]

A première vue, vos solutions sont correctes, la mienne se rapproche assez de la tienne Forhaia :

équivaut à
ou encore à
, finalement nous obtenons
, qui est bien entier puisque et sont de parité contraire.

CQFD

[invite8a80e525]

L'idée est la même mais tu t'en sors en seulement 4 lignes

[invite35452583]

Un problème que j'ai trouvé sur le site des olympiades (la solution n'est pas proposée). J'ai quelques pistes, mais l'exercice n'est pas du tout simple :
Soit c un entier strictement positif. On note , , et le nombre de diviseurs positifs de c dont l'écriture décimale finit par , , et respectivement. Prouver que :

Pour ce qui est de tes exercices Zweig, j'ai réussi le 1^er, et je me penche sur le deuxième

Pour cela il faut se donner un moyen de les compter.
On pose pour cela, Fj={diviseurs positifs de c dont leurs décompositions en facteurs premiers ne contient que des premiers se terminant par j en écriture décimale} j=1,3,7,9,2 ou 5 (on exclut 4,8 et 8 je te laisse deviner pourquoi ). Les F_j contiennent tous 1.
49=7² est donc dans F₇ et non dans F₉, 21=3x7 n'est aucun d'entre eux. F₂ (resp. F₅) ne contient que des puissances de 2 (resp. de 5).
A partir de là, on établit une application
{diviseurs de c}->F₁xF₃xF₇xF₉xF₂xF₅
d-> (f₁, f₃, f₇, f₉, f₂, f₅)
avec d=f₁.f₃.f₇.f₉.f₂.f₅
Montrer que d définit ainsi un seul 6-uplet et que tout 6-uplet définit un diviseur de c.
aintenant, si d se termine par 1, 3, 7 ou 9 il est facile de justifier que f2=f5=1 et il n'est guère plus difficile de montrer que cela suffit. Les diviseurs positifs de c se terminant par 1, 3 7 ou 9 sont au nombre de ?
En écriture décimale, les n1 nombres de F1 se terminent par 1,
les n9 nombres de F9 se terminent par ? ou par ?
Les n3 nombres de F3 se terminent pour une part à déterminer par 3 ou 7, les autres...
Les n7 nombres...
Les diviseurs
Maintenant quelles sont les possibilités pour obtenir un produit f1.f3.f5.f7 se terminant par 3 ou 7 ? Alors là il faut distinguer plusieurs cas car à moins qu'une astuce m'ait échappé une majoration brutale ne marche pas.

Il y a peut-être moins "bourrin" mais je n'en suis pas sûr.

[bubulle_01]

Pour ton exercice Zweig, j'ai avancé et je voulais confirmer le fait que j'ai pas avancé à contresens ^^ :

 Cliquez pour afficher

(On note cette expression.)
On remarque que -1 est solution évidente du polynôme du troisième degré sous la racine carrée.
En passant par une identification on peut retrouver le polynôme suivant :

L'expression de devient ainsi :

En posant , on tombe sur la somme de deux racines cubiques de deux polynômes du troisième degré notés et tel que
En conjecturant le fait que la valeur maximale de sur est atteint en , il suffirait de prouver que obtenue est maximale en car et .

Voilà voilà, qu'en penses-tu ?

[invite2220c077]

Tu conjectures que le maximum est 2, atteint lorsque x = 1 si j'ai bien compris ? C'est effectivement le maximum recherché, maintenant, il ne reste plus qu'à prouver cette conjecture .

[bubulle_01]

Je n'ai pas calculé sa valeur mais cela doit bien être ca ^^

[invite2220c077]

Oui, le maximum est bien atteint en x = 1. Parcontre je ne peux pas trop te donner de pistes car ma démo est totalement différente de la tienne et pour le moment je n'ai pas trop de temps pour me pencher sur ta conjecture (TPE oblige).

[bubulle_01]

Encore pour ton exercice Zweig ... ^^
Dans un premier temps, on démontre par le calcul que
On peut ainsi resteindre l'intervalle à
Hop hop hop j'ai pas le temps de finir mon début de démonstration, je continuerais demain ^^

[invite2220c077]

Hum, c'est faux ça, il y'a juste le signe avant la racine carrée qui change d'un polynôme à l'autre, et non les signes de . On a pas aussi .

Bon si tu veux un petit indice (y'a peut-être une solution plus élémentaire) :

 Cliquez pour afficher

Utilise l'inégalité arithmético-géométrique :

Soient , et des réels positif. On a alors :

[bubulle_01]

Hum, c'est faux ça, il y'a juste le signe avant la racine carrée qui change d'un polynôme à l'autre, et non les signes de . On a pas aussi .

Bon si tu veux un petit indice (y'a peut-être une solution plus élémentaire) :

 Cliquez pour afficher

Utilise l'inégalité arithmético-géométrique :

Soient , et des réels positif. On a alors :

Hum non je n'ai pas dit ca !
Remplace dans ton expression par et tu verras que tu trouveras une relation de la forme .
Sinon pour la relation que tu viens de me donner, je la connaissai pas ^^
Je vais donc m'en servir

[invitea9351d88]

bon j'essaye désespérément de montrer que si on associe cette expression à une fonction, elle est strictement croissante mais j'ai un peu de mal et c'est pas très fructueux xD.

Aufait vous êtes en 1ere non? Vous vous y êtes mis tôt à chercher plus quece qu'on nous enseigne je suppose non?

[bubulle_01]

Pour ma part je suis en terminale, et je te répondrais que j'ai commencé depuis l'année dernière à m'intéresser à un peu tout sauf le programme ^^

[invite9a322bed]

Zweig j'aurais préféré que tu sépares les exos chacun avec son fil de discussion. Sinon je suis toujours sur le premier et si tu peux faire un tour sur mon exos que j'ai posté aujourd'hui !

[bubulle_01]

Pour la fin de ton exo Zweig, on distingue deux cas (on se place sur [3/4;1])
cas où la deuxième racine cubique est négative :
Dans ce cas la première est positive et on peut ecrire les deux inequations :

car
D'un autre coté on a :

On a donc
On a ainsi soit
Or donc
Dans le cas ou les deux racines positives, on raisonne de la même manière et on trouve :

Or donc
Or donc le maximum est 2 atteint en 1.
Ma démonstration est baclée mais j'ai pas beaucoup de temps ...