exercice olympiade

[patxiku]

bonjour,
j'ai essayé de faire un des exercices des olympiades et j'ai un peu de mal ^^ alors que j'étais en première S :s ça me fou mal vu qeu c'est adressé à des troisièmes, enfin bon:

Trouver tout les couples d'entiers x et y tels que :
1 + 2^x + 2^x+1 = y²

après modification de l'écriture j'ai obtenu:

1 + 3 * 2^x = y²
3 * 2^x = y² - 1
3 * 2^x = (y+1) (y-1)

voile ce que j'en déduis:

- x > 0 ou x = 0
- y est impaire sauf pour x = 0
- il faut que :
(y+1) soit multiple de 2 et (y-1) soit multiple de 3*2
ou
(y-1) soit multiple de 2 et (y+1) soit multiple de 3*2

voici les solutions que j'ai trouvé de tête:

{0;2} {3;5} {4;7}
{0;-2} {3;-5} {4;-7}

Je pense que c'est tout mais je ne sais pas le prouver pouvez-vous m'aider sans me donner la réponse bien sûre . Merci beaucoup d'avance
-----

[invitec053041c]

Bonjour.

Je suis d'accord avec toi que y est impair.

Partant de là, tu peux poser y=2k+1
L'équation devient (après quelques arrangements):



Tu fais ensuite des études de cas. Pour x=<2 (pas beaucoup de vérifications)
Tu peux maintenant supposer x>2
Alors cela devient:



Tu supposes k impair (sinon c'est k+1...), tu regardes du côté de chez Gauss et je pense que ça ira tout seul .

(mais niveau 3ème là je suis impressionné...)

[patxiku]

J'ai cherché sur google vite fait pour Gauss mais je n'ai pas trop le temps, il faut que je cherche quoi plus précisemment?

[invitec053041c]

Le lemme de Gauss te dit :
Si a divise le produit bc, et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

Ici,tu supposes k impair (après tu supposeras (k+1) impair),et 2^(x-2) est bien pair car j'ai supposé x>2.
Bref, tu as:



Donc tu as k qui divise le produit 3.2^(x-2) mais k est supposé impair, donc k est premier avec 2^(x-2) , et Gauss te dit alors que k divise 3 (ça fait peu de cas ).


Tu supposes ensuite (k+1) impair, tu refais la même chose, et tu vérifies sur le peu de cas qu'il te reste...

[A voir en vidéo sur Futura]

[patxiku]

Tu (si je peux te tutoyer) confirmes ce que je pensais entre temps par contre je ne savais pas comment l'expliquer. En passant tu ne saurais pas comment je pourrais faire pour faire des exercices de ce type sans avoir à demender parceque j'ai pas l'impression qu'il me manquait beaucoup :s, tu n'as pas une façon de procéder pour résoudre un problème qui pose des difficultés?

Merci de m'avoir aider, je me sens plus léger déjà lol bonne nuit. Je reconsulterais le topic demain matin

[invitec053041c]

si je peux te tutoyer

Evidemment .

Par contre tu ne saurais pas comment je pourrais faire pour faire des exercices de ce type sans avoir à demender parceque j'ai pas l'impression qu'il me manquait beaucoup :s.

De l'entraînement, et des erreurs... Je n'arrivais à rien en aritmétique, et à force de persévérence, j'ai réussi à voir qu'il ne fallait pas se laisser impressionner, et qu'on avait toujours nos amis Bezout,Gauss,Fermat(...) à notre rescousse .

Sinon tu n'as pas une façon de procéder pour résoudre un problème qui pose des difficultés?

Je n'ai pas de recette miracle non .

bonne nuit merci de m'avoir aider, je me sens plus léger déjà lol bonne nuit. Je reconsulterais le topic demain matin

Bonne nuit, la nuit porte conseil !


EDIT: au passage, on ne trouve en effet pas d'autres solutions que celles que tu donnes.

[patxiku]

j'ai essayer aujourd'hui deux autres problèmes, toujours tirés des olympiades ou des exercices qui permettent de s'entrainner à ce concours. Je pense qu'il vaut mieux que je les mette ici pour éviter de faire plusieurs postes.

Exercice 2:

Peut-on trouver trois entiers m, n et r vérifiant m²-n²=11 et r²-2n²=1 ?


dans la première équation, les seuls solutions possible sont m = -6/6 et n = -5/5
je sais pas comment le justifier:
m² > n² alros |m| > |n|
on étudie les cas suivant:
|m| = |n|+1 on trouve que |n| = 6
|m| = |n|+2 on trouve que |n| n'appartient pas à N
|m| > |n| + 2 l'équation n'a pas de solution mais je ne sais pas comemnt le justifier pour tous les cas

dans la deuxième équation, les seuls solutions possibles sont r = -3/3 et n = -2/2
on procède de façon similaire avec |r| > racine(2)n

Donc la réponse est non.

Exercice 3:

Trouver tous les entiers positifs x et y tels que

7^x-3*2^y=1

la seul chose que je sais c'est que 7^x est impair, 3*2^y est pair et que {x=2;y=4} est une solution de l'équation.

sinon je nage

est-ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait?

[invitec053041c]

Bonsoir.
En général dans les exos d'arithmétique il vaut mieux éviter de faire apparaître des fractions et des racines carrées...bef c'est pas grave.
Je te dis comment j'aurais procédé pour le 1:

r²-2n²=1
2n²=(r-1)(r+1)
T'indique que r est impair, donc r=2k+1

Tu réintroduis:
(2k+1)²-2n²=1
devient:
n²=2(k²+k) donc n est pair (n=2x)

La première te donne (m-n)(m+n)=11, et tu te rends compte que m et n sont de parité différente, donc comme n est pair, m est impair (m=2y+1)
(2y+1)²-(2x)²=11
devient
4y²+4y-4x²=10
2(y²+y-x²)=5

Qui voudrait dire que 5 est pair .

[patxiku]

lol

merci pour la réponse. C'est toujours une histoire de parité ou quoi? Au passage tu ne saurais pas ou je peux en trouver plus? Tu n'aurais pas quelques pistes pour l'autre exercice?

[invitec053041c]

Non ce n'est pas toujours une histoire de parité.
S'intéresser à la parité, c'est travailler modulo 2.
Après on peut très bien travailler modulo 3,4,5,6,7,8... ce qui s'avère assez souvent payant en arithmétique.
Je n'ai pas trop réfléchi au second, mais si on renomme x'=7^x et y'=2^y, on arrive à une équation diophantienne, mais je ne sais pas si c'est une bonne piste...

[patxiku]

je pense que je verrais meiux l'arithmétique en spé math. J'ai étais voir les équation diophanienne j'ai pas pu ingérer tout ce qu'il y avait d'écrit sur wikipedia :s. Ca te prend pas longtemps je suppose pour résoudre les exercices d'arithmétique que je ne sais pas faire xD

[invitec053041c]

Oui bien-sûr tu verras tout ça mieux en spé maths !
Moi ayant fait spé physique, j'ai un peu ramé en arithmétique cette année, mais bon ça se rattrape (faut bien!).

François

[Guillaume.B]

Sinon patxiku, tu t'es gourré(e). L'équation à résoudre, c'est plutôt :

(exercice n°5 des Olympiades Internationales de Mathématiques 2006), ce qui rend les choses plus difficile

Et sinon, faut pas abuser, ce n'est pas niveau 3° !! Depuis quand on fait de l'arithmétique en 3° (lemme de Gauss, bézout etc ...) ?

[Guillaume.B]

Sinon pour ton exercice

Les couples (1, 1) et (2, 4) sont clairement solutions du problème. Par ailleurs, si x > 2 alors y > 4 et l'équation est équivalente à :


<=>

[Guillaume.B]

Sinon pour ton exercice

Les couples (1, 1) et (2, 4) sont clairement solutions du problème. Par ailleurs, si x > 2 alors y > 4 et l'équation est équivalente à :



<=>

<=>

<=>

<=>

Les deux membres de (*) étant pairs, donc x/2 est pair, i.e, x = 0[4]. Il s'ensuit que :

(*) <=>

ce qui est impossible puisque n'est pas divisible par 50. Ainsi seuls les couples (1, 1) et (2, 4) sont solution du problème.