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Nature des nombres complexes



  1. #1
    DaoLoNg WoNg

    Nature des nombres complexes


    ------

    Bonjour.

    En essayant de comprendre leur construction je me suis demandé : pourquoi les mathématiciens les considèrent-ils comme des nombres étant donné qu'ils ont deux dimensions ? J'espère que vous pourrez m'aider

    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    En essayant de comprendre leur construction je me suis demandé : pourquoi les mathématiciens les considèrent-ils comme des nombres étant donné qu'ils ont deux dimensions ? J'espère que vous pourrez me m'aider
    Parce que les complexes permettent de résoudre des problèmes purement numériques (résoudre x² + 1 = 0, par exemple).

    J'ai vaguement l'impression que quand tu dis "nombres", tu penses "nombres réels".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Ledescat

    Re : Nature des nombres complexes

    Bonjour.

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    pourquoi les mathématiciens les considèrent-ils comme des nombres étant donné qu'ils ont deux dimensions ? J'espère que vous pourrez m'aider


    Tu n'es pas obligé de considérer partie réelle/imaginaire, mais tu peux considérer un complexe comme un nombre à part entière.
    C'est comme si je te dis: Pourquoi considère-t-on les rationnels comme des nombres ? Puisque un rationnel r peut être défini par un couple de deux entiers (r=p/q)...
    Et pourtant, on parle bien des nombres rationnels .
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    Gwyddon

    Re : Nature des nombres complexes

    Il y a aussi une raison liée au fait que les nombres réels s'injectent dans l'ensemble des nombres complexes.

    De plus, la remarque de Ledescat à propos des rationnels devrait te faire réfléchir
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Il y a aussi une raison liée au fait que les nombres réels s'injectent dans l'ensemble des nombres complexes.
    Injection avec quelques propriétés quand même (j'ose pas dire le mot, mais c'est une injection qui préserve la structure de corps de , c'est à dire que l'image de dans est un corps avec les mêmes propriétés que ).

    (Gwyddon, t'as pas fini de subir )
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    Gwyddon

    Re : Nature des nombres complexes

    Oui oui j'ai (encore ? ) oublié de préciser que l'injection n'est pas n'importe comment...

    De même que les rationnels ne sont pas que de simples couples d'entiers, il y a une structure de corps de fraction derrière
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    Ledescat

    Re : Nature des nombres complexes

    D'aileurs, en parlant de ça, je me suis toujours demandé :
    Est-ce que IQ est l'ensemble des nombres p/q tq (p,q) appartienne à IZxIN* que l'on munit ensuite d'une structure de corps.
    Ou bien IQ est l'ensemble "..." déjà muni de cette structure ?

    Bon, au final on retombe sur nos pattes mais bon . Ca me rappelle un peu l'histoire des quantificateurs où l'on ne précise pas à quoi appartient l'élément (débattu par vous 2 au passage ).

    François
    Cogito ergo sum.

  11. #8
    indian58

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Est-ce que IQ est l'ensemble des nombres p/q tq (p,q) appartienne à IZxIN* que l'on munit ensuite d'une structure de corps.
    En définissant de cette manière, tu utilises le "/" et le munis donc d'une structure.

  12. #9
    Gwyddon

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    D'aileurs, en parlant de ça, je me suis toujours demandé :
    Est-ce que IQ est l'ensemble des nombres p/q tq (p,q) appartienne à IZxIN* que l'on munit ensuite d'une structure de corps.
    Ou bien IQ est l'ensemble "..." déjà muni de cette structure ?
    Non en fait Q est IZxIN* quotienté par la relation d'équivalence suivante :

    (p,q) ~ (r,s) si et seulement si ps=qr.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #10
    indian58

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Non en fait Q est IZxIN* quotienté par la relation d'équivalence suivante :

    (p,q) ~ (r,s) si et seulement si ps=qr.
    Zut! C'est ce que j'allais dire.

    Et je permets de rajouter qu'a ce quotient, on lui étend les lois + et . (et <=) de (Z,+,.)

  14. #11
    Médiat

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Est-ce que IQ est l'ensemble des nombres p/q tq (p,q) appartienne à IZxIN* que l'on munit ensuite d'une structure de corps.
    Ou bien IQ est l'ensemble "..." déjà muni de cette structure ?
    J'ai du mal à comprendre ce que tu veux dire par "déjà muni de cette structure", dans la mesure ou l'ensemble est "nouveau".

    Ceci dit n'est pas égal à , mais à l'ensemble quotient de cet ensemble par une relation d'équivalence, on peut alors le munir de 2 lois de composition interne (il faut d'ailleurs le démontrer, ce n'est pas évident (si tu veux, je peux développer)), ces deux lois lui conférant une structure de corps (on retrouve ici la notion d'injection canonique de dans , injection qui préserve la structure d'anneau de .

    [EDIT] Grillé et re-grillé
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    Ledescat

    Re : Nature des nombres complexes

    D'accord !
    Merci beaucoup pour ces réponses rapides.

    EDIT: merci Médiat aussi .

    Ce que je voulais dire dans mon "déjà", c'est si lorsqu'on invoque IQ désormais, c'est l'ensemble muni de la structure de corps ou si c'est l'ensemble quotienté (...) (tout en étant conscient qu'on peut lui conférer une structure de corps).
    Bref, au final , comme j'ai dit, on retombe sur ses pattes (ouf ).
    Dernière modification par Ledescat ; 18/08/2007 à 22h41.
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Médiat

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Ce que je voulais dire dans mon "déjà", c'est si lorsqu'on invoque IQ désormais, c'est l'ensemble muni de la structure de corps ou si c'est l'ensemble quotienté (...)
    Nous sommes en plein dans la conversation de cet après-midi sur la simplicité de la relation d'équivalence et la complexité de la notion de quotient , car l'ensemble que tu appelles désormais et l'ensemble quotienté sont deux façon de dénommer, la même chose.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Gwyddon

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Nous sommes en plein dans la conversation de cet après-midi sur la simplicité de la relation d'équivalence et la complexité de la notion de quotient ,
    Yep, j'y pensais aussi

    Un bel exemple que cette discussion pour l'autre débat
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  19. #15
    DaoLoNg WoNg

    Re : Nature des nombres complexes

    Merci pour les réponses.

    Un petit détail toutefois :
    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (résoudre x² + 1 = 0, par exemple).
    => . Ce qui correspond d'après l'interprétation géométrique au point donc et et non . Où ai-je commis une erreur ?

    Bonne continuation.

  20. #16
    Ledescat

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    Merci pour les réponses.

    Un petit détail toutefois :


    => . Ce qui correspond d'après l'interprétation géométrique au point donc et et non . Où ai-je commis une erreur ?

    Bonne continuation.
    Bon déjà, c'est i ou -i, mais passons.

    Ici x représente un complexe (donc le couple (0,1) que tu as cité à juste titre) mais ne représente pas la partie réelle de ta solution.

    Si tu préfères, comme tu résouds dans C, tu aurais pu écrire l'équation: z²+1=0, d'où par exemple z=i=x+iy avec x=0 et y=1.
    Cogito ergo sum.

  21. #17
    Médiat

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    => . Ce qui correspond d'après l'interprétation géométrique au point donc et et non . Où ai-je commis une erreur ?
    Avec juste raison Ledescat à écrit :
    Tu n'es pas obligé de considérer partie réelle/imaginaire, mais tu peux considérer un complexe comme un nombre à part entière.
    J'ajoute que rien ne t'oblige à appelé x la coordonnée réelle et y la coordonnée imaginaire.
    A partir de l'équation tu peux déduire que est une solution, si tu veux représenter cette solution dans le plan (avec deux coordonnées réelles) le plus simple est de dire que c'est le point (0,1), comme cela pas de confusion entre le nom de la variable Complexe et le nom des coordonnées réelles du point image de ce nombre dans un plan.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    Ledescat

    Re : Nature des nombres complexes

    Au passage, je vous remercie Gwyddon et Médiat pour vos réponses #13 et #14, comme quoi les fils se coupent et se recoupent .

    François
    Cogito ergo sum.

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  24. #19
    DaoLoNg WoNg

    Re : Nature des nombres complexes

    Je ne comprends pas pourquoi peut être solution puisque dans l'équation de départ on a et la solution correspond à (0;1)

    Merci.

  25. #20
    Ledescat

    Re : Nature des nombres complexes

    On vient de t'expliquer 2 fois...
    Tes parties réelles et imaginaires, tu peux les appeler lulu et nana si tu veux ! Et pas forcément x,y.
    Un nombre complexe s'écrirait alors z=lulu+i(nana).

    L'équation x²+1=0 admet entre-autre comme solution le nombre complexe égal à i.
    Donc x=i=(0,1) est solution.
    Donc lulu=0, et nana=1

    (pas de y à l'horizon)

    Ce qui te perturbe, c'est que communément, x est la partie réelle d'un complexe, mais dans ce cas x est un complexe tout court.
    C'est pour ça que je t'ai conseillé d'écrire l'équation plutôt sous la forme de: z²+1=0.
    Cogito ergo sum.

  26. #21
    DaoLoNg WoNg

    Re : Nature des nombres complexes

    Merci pour les explications, je ne suis pas doué. Si x est une variable à deux dimension, avec y ça fait donc un espace à trois dimensions, n'est-ce pas ?

  27. #22
    Ledescat

    Re : Nature des nombres complexes

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    Merci pour les explications, je ne suis pas doué. Si x est une variable à deux dimension, avec y ça fait donc un espace à trois dimensions, n'est-ce pas ?
    Une variable n'a pas de dimension...Et en utilisant d'autres termes pour désigner partie réelle/imaginaire (ie lulu et nana ), je voulais te montrer qu'on pouvait oublier y.
    SI x est complexe, tu peux écrire x=lulu+i(nana) (plus de y).
    Cogito ergo sum.

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