Nature des nombres complexes

[invitebeb55539]

Bonjour.

En essayant de comprendre leur construction je me suis demandé : pourquoi les mathématiciens les considèrent-ils comme des nombres étant donné qu'ils ont deux dimensions ? J'espère que vous pourrez m'aider

Merci d'avance.
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[Médiat]

En essayant de comprendre leur construction je me suis demandé : pourquoi les mathématiciens les considèrent-ils comme des nombres étant donné qu'ils ont deux dimensions ? J'espère que vous pourrez me m'aider

Parce que les complexes permettent de résoudre des problèmes purement numériques (résoudre x² + 1 = 0, par exemple).

J'ai vaguement l'impression que quand tu dis "nombres", tu penses "nombres réels".

[invitec053041c]

Bonjour.

pourquoi les mathématiciens les considèrent-ils comme des nombres étant donné qu'ils ont deux dimensions ? J'espère que vous pourrez m'aider

Tu n'es pas obligé de considérer partie réelle/imaginaire, mais tu peux considérer un complexe comme un nombre à part entière.
C'est comme si je te dis: Pourquoi considère-t-on les rationnels comme des nombres ? Puisque un rationnel r peut être défini par un couple de deux entiers (r=p/q)...
Et pourtant, on parle bien des nombres rationnels .

[Gwyddon]

Il y a aussi une raison liée au fait que les nombres réels s'injectent dans l'ensemble des nombres complexes.

De plus, la remarque de Ledescat à propos des rationnels devrait te faire réfléchir

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Il y a aussi une raison liée au fait que les nombres réels s'injectent dans l'ensemble des nombres complexes.

Injection avec quelques propriétés quand même (j'ose pas dire le mot, mais c'est une injection qui préserve la structure de corps de , c'est à dire que l'image de dans est un corps avec les mêmes propriétés que ).

(Gwyddon, t'as pas fini de subir )

[Gwyddon]

Oui oui j'ai (encore ? ) oublié de préciser que l'injection n'est pas n'importe comment...

De même que les rationnels ne sont pas que de simples couples d'entiers, il y a une structure de corps de fraction derrière

[invitec053041c]

D'aileurs, en parlant de ça, je me suis toujours demandé :
Est-ce que IQ est l'ensemble des nombres p/q tq (p,q) appartienne à IZxIN* que l'on munit ensuite d'une structure de corps.
Ou bien IQ est l'ensemble "..." déjà muni de cette structure ?

Bon, au final on retombe sur nos pattes mais bon . Ca me rappelle un peu l'histoire des quantificateurs où l'on ne précise pas à quoi appartient l'élément (débattu par vous 2 au passage ).

François

[indian58]

Est-ce que IQ est l'ensemble des nombres p/q tq (p,q) appartienne à IZxIN* que l'on munit ensuite d'une structure de corps.

En définissant de cette manière, tu utilises le "/" et le munis donc d'une structure.

[Gwyddon]

D'aileurs, en parlant de ça, je me suis toujours demandé :
Est-ce que IQ est l'ensemble des nombres p/q tq (p,q) appartienne à IZxIN* que l'on munit ensuite d'une structure de corps.
Ou bien IQ est l'ensemble "..." déjà muni de cette structure ?

Non en fait Q est IZxIN* quotienté par la relation d'équivalence suivante :

(p,q) ~ (r,s) si et seulement si ps=qr.

[indian58]

Non en fait Q est IZxIN* quotienté par la relation d'équivalence suivante :

(p,q) ~ (r,s) si et seulement si ps=qr.

Zut! C'est ce que j'allais dire.

Et je permets de rajouter qu'a ce quotient, on lui étend les lois + et . (et <=) de (Z,+,.)

[Médiat]

Est-ce que IQ est l'ensemble des nombres p/q tq (p,q) appartienne à IZxIN* que l'on munit ensuite d'une structure de corps.
Ou bien IQ est l'ensemble "..." déjà muni de cette structure ?

J'ai du mal à comprendre ce que tu veux dire par "déjà muni de cette structure", dans la mesure ou l'ensemble est "nouveau".

Ceci dit n'est pas égal à , mais à l'ensemble quotient de cet ensemble par une relation d'équivalence, on peut alors le munir de 2 lois de composition interne (il faut d'ailleurs le démontrer, ce n'est pas évident (si tu veux, je peux développer)), ces deux lois lui conférant une structure de corps (on retrouve ici la notion d'injection canonique de dans , injection qui préserve la structure d'anneau de .

[EDIT] Grillé et re-grillé

[invitec053041c]

D'accord !
Merci beaucoup pour ces réponses rapides.

EDIT: merci Médiat aussi .

Ce que je voulais dire dans mon "déjà", c'est si lorsqu'on invoque IQ désormais, c'est l'ensemble muni de la structure de corps ou si c'est l'ensemble quotienté (...) (tout en étant conscient qu'on peut lui conférer une structure de corps).
Bref, au final , comme j'ai dit, on retombe sur ses pattes (ouf ).

[Médiat]

Ce que je voulais dire dans mon "déjà", c'est si lorsqu'on invoque IQ désormais, c'est l'ensemble muni de la structure de corps ou si c'est l'ensemble quotienté (...)

Nous sommes en plein dans la conversation de cet après-midi sur la simplicité de la relation d'équivalence et la complexité de la notion de quotient , car l'ensemble que tu appelles désormais et l'ensemble quotienté sont deux façon de dénommer, la même chose.

[Gwyddon]

Nous sommes en plein dans la conversation de cet après-midi sur la simplicité de la relation d'équivalence et la complexité de la notion de quotient ,

Yep, j'y pensais aussi

Un bel exemple que cette discussion pour l'autre débat

[invitebeb55539]

Merci pour les réponses.

Un petit détail toutefois :

(résoudre x² + 1 = 0, par exemple).

=> . Ce qui correspond d'après l'interprétation géométrique au point donc et et non . Où ai-je commis une erreur ?

Bonne continuation.

[invitec053041c]

Merci pour les réponses.

Un petit détail toutefois :


=> . Ce qui correspond d'après l'interprétation géométrique au point donc et et non . Où ai-je commis une erreur ?

Bonne continuation.

Bon déjà, c'est i ou -i, mais passons.

Ici x représente un complexe (donc le couple (0,1) que tu as cité à juste titre) mais ne représente pas la partie réelle de ta solution.

Si tu préfères, comme tu résouds dans C, tu aurais pu écrire l'équation: z²+1=0, d'où par exemple z=i=x+iy avec x=0 et y=1.

[Médiat]

=> . Ce qui correspond d'après l'interprétation géométrique au point donc et et non . Où ai-je commis une erreur ?

Avec juste raison Ledescat à écrit :

Tu n'es pas obligé de considérer partie réelle/imaginaire, mais tu peux considérer un complexe comme un nombre à part entière.

J'ajoute que rien ne t'oblige à appelé x la coordonnée réelle et y la coordonnée imaginaire.
A partir de l'équation tu peux déduire que est une solution, si tu veux représenter cette solution dans le plan (avec deux coordonnées réelles) le plus simple est de dire que c'est le point (0,1), comme cela pas de confusion entre le nom de la variable Complexe et le nom des coordonnées réelles du point image de ce nombre dans un plan.

[invitec053041c]

Au passage, je vous remercie Gwyddon et Médiat pour vos réponses #13 et #14, comme quoi les fils se coupent et se recoupent .

François

[invitebeb55539]

Je ne comprends pas pourquoi peut être solution puisque dans l'équation de départ on a et la solution correspond à (0;1)

Merci.

[invitec053041c]

On vient de t'expliquer 2 fois...
Tes parties réelles et imaginaires, tu peux les appeler lulu et nana si tu veux ! Et pas forcément x,y.
Un nombre complexe s'écrirait alors z=lulu+i(nana).

L'équation x²+1=0 admet entre-autre comme solution le nombre complexe égal à i.
Donc x=i=(0,1) est solution.
Donc lulu=0, et nana=1

(pas de y à l'horizon)

Ce qui te perturbe, c'est que communément, x est la partie réelle d'un complexe, mais dans ce cas x est un complexe tout court.
C'est pour ça que je t'ai conseillé d'écrire l'équation plutôt sous la forme de: z²+1=0.

[invitebeb55539]

Merci pour les explications, je ne suis pas doué. Si x est une variable à deux dimension, avec y ça fait donc un espace à trois dimensions, n'est-ce pas ?

[invitec053041c]

Merci pour les explications, je ne suis pas doué. Si x est une variable à deux dimension, avec y ça fait donc un espace à trois dimensions, n'est-ce pas ?

Une variable n'a pas de dimension...Et en utilisant d'autres termes pour désigner partie réelle/imaginaire (ie lulu et nana ), je voulais te montrer qu'on pouvait oublier y.
SI x est complexe, tu peux écrire x=lulu+i(nana) (plus de y).