Bonsoir à tous,
Dans un exercice de révision entre la terminale et le supérieur on me demande de démontrer cette propriété des arguments des nombres complexes :
Donc pour cela je me suis dit on pose deux nombres z et z' ayant pour valeur respective x+iy et x'+iy', mais à partir de là je ne sais pas trop où aller...
Si vous pouviez m'aiguiller pour que je comprenne cette démonstration
Merci à vous.
Salut
Sperca.
PS: c'est drôlement pratique le latex dis donc.
Bonjour,
N'est-ce pas plus simple en utilisant la notation exponentielle ?
Ah oui effectivement c'est vrai qu'on se rabat sur les propriétés de l'exponentiel. Je ne sais même pas pourquoi je n'y ai pas pensé ^^.
Merci à toi.
Il me reste plus qu'à démontrer la propriété de l'exponentiel.
Je crains qu'une démonstration utilisant la forme exponentielle ne soit pas valide.
En effet, cette notation découle du fait qu'on additionne les arguments d'un produit.
Utiliser les conséquences d'une propriété pour démontrer la propriété...pas génial.
Ah merci pour cette indication donc même si après je démontre la propriété de l'exponentiel avec le logarithme, puis celle du logarithme avec la méthode des dérivées, ce n'est pas très très mathématiques :S.
Comment je peux faire sinon ?
Merci.
Sperca
Pas de lograithme complexe !
(ça se fait mais en bac+n à déterminer
Euh comment je peux commencer alors ?
Merci à vous.
Sperca
Il me semble qu'il faudrait revenir aux bonnes vieilles définitions des arguments, définis par leur cos et sin en fonction des parties réelle et imaginaire.
Ci après j'appelle ARG1, et ARG2 resp. les arguments de z1 et z2.
Calculer cos (ARG1) = etc..., sin (ARG1) = ..., cos (ARG2)= ... sin (ARG2) =..
Ensuite faire le calcul trigo classique cos(ARG1+ARG2)=.... sin(ARG1+ARG2)=...
On devrait s'apercevoir qu'on a trouvé la formulation des arguments de z1z2 ....
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
z×z’= |z|×[cos(θ)+i.sin(θ)]×|z’|×[cos(θ’)+i.sin(θ’)]
= |z|×|z’|×[ cos(θ)×cos(θ’) + i.cos(θ)×sin(θ’) + i.sin(θ)×cos(θ’) - sin(θ)×sin(θ’)]
= |z×z’|×[ cos(θ)×cos(θ’) - sin(θ)×sin(θ’) + i.( cos(θ)×sin(θ’) + sin(θ)×cos(θ’))]
En utilisant la formule d’addition des cosinus et sinus
= |z×z’|×[ cos(θ + θ’) + i.( sin(θ + θ’) ]
Donc l'argument du produit z × z' est égal à θ + θ’ , c'est la somme des arguments de z et z'.
Cordialement
le plus simple a mon avis est de revenir a la définition de l'argument zz'/|zz'|=e^iarg(zz') ensuite la propriété est très simple à démontrer en utilisant les propriétés des modules.
