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invite7eed2b83 · 16/09/2011, 20h29

Bonjour, j'ai un exercice à faire en math et je ne sais pas trop comment faire , pourriez vous me donner quelques pistes?

Je l'ai joint, j'ai du le scanner parce je pense que cela aurait été trop compliqué à taper à l'ordinateur.

Pour la question 1, je pensais à faire une récurrence, mais cela ne fonctionne pas ,

Merci d'avance

invite7eed2b83 · 17/09/2011, 08h14

Personne ne veut m'aider?

**Tiky** · 17/09/2011, 08h57

Bonjour,

La récurrence fonctionne très bien mais il faut faire un peu attention.
Tu veux montrer que $\forall n \in \mathbb{N},\ a_n \geq 1$
Montre que c'est vrai pour $a_2$ et $a_3$ .

Suppose que c'est vrai pour $a_{n-1}$ et $a_n$ pour un $n \geq 3$ .
Tu en déduis que c'est vrai pour $a_{n+1}$

**Tiky** · 17/09/2011, 09h03

On peut en fait commencer la récurrence à 1 sans problème. Fais l'initialisation sur $a_1$ et $a_2$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite7eed2b83 · 17/09/2011, 10h06

D'accord, merci beaucoup je vais essayer et je vous direz ce que j'obtiens,

Merci d'avance

**Tiky** · 17/09/2011, 10h30

En fait il faut bien commencer à 2 et non à 1

. Mon premier message est le bon.

invite7eed2b83 · 17/09/2011, 11h40

D'accord, donc ca y est j'ai fait la première question, donc j'obtiens:
- si n=2 on a A3=2*97 au carré -1 donc A3>1
donc c'est vérifié pour n=2
-on suppose An>1 vraie pour n=p, donc Ap>1 et A(p-1)>1
par hypothèse de récurrence, on Ap*A(p-1)>1
et Ap au carré -1 >0 et A(p-1) au carré -1 >0
donc leur produit est >0
donc la racine de ce produit est >0
donc o additionne à ca Ap*A(p-1) et cela est >1
donc on obtient A(p+2)>1
- donc on a bien pour tout n>1 An>1

voila si pour la suite vous préférer que je vous scanne mon brouillon dites le moi, parce que ce n'est pas très compréhensible la facon dont je tape ca sur internet
et j'ai une question pourquoi on doit démontrer ca en faite je ne vois pas où on nous dit que An doit être supérieur à 1 ?

et pour 2)a on peut faire aussi une récurrence je pense, j'y réfléchie

Merci d'avance

**Tiky** · 17/09/2011, 12h16

Ta rédaction ne convient pas. En fait ce n'est pas tout à fait une récurrence.

Le principe de récurrence sur $\mathbb{N}$ nous dit que si on a une partie A de $\mathbb{N}$ qui contient 0 et telle que :
$\forall n \in \mathbb{N},\ n \in A \Rightarrow n+1 \in A$ , alors $A = \mathbb{N}$ .

Pour ma part, je te propose une variante que voici :
Si une partie A de $\mathbb{N}$ qui contient 0 et 1 et telle que :
$\forall n \geq 1,\ [\ n-1 \in A\ \mbox{et}\ n \in A\ ] \Rightarrow n+1 \in A$ , alors $A = \mathbb{N}$

Démontrons cette proposition grâce au principe de récurrence :
Soit A une partie de $\mathbb{N}$ qui contient 0 et 1 et telle que : $\forall n \geq 1,\ [\ n-1 \in A\ \mbox{et}\ n \in A\ ] \Rightarrow n+1 \in A$

On a bien $0 \in A$

Montrons que pour tout entier $n \geq 0$ , $n \in A \Rightarrow n+1 \in A$
- $0 \in A$ et $1 \in A$ par hypothèse. Donc a fortiori on a bien $0 \in A \Rightarrow 1 \in A$ .
- Supposons que pour un entier $n \geq 0$ , $n \in A \Rightarrow n+1 \in A$ . Montrons que $n+1 \in A \Rightarrow n+2 \in A$ .
On sait que $[\ n \in A\ \mbox{et } n+1 \in A\ ] \Rightarrow n+2 \in A$ , donc par hypothèse de récurrence $n+1 \in A \Rightarrow n+2 \in A$

D'où $A = \mathbb{N}$ par le principe de récurrence énoncé au-dessus.

Maintenant qu'on a établi rigoureusement que le second principe était correct, on peut l'appliquer à l'exercice.
On souhaite démontrer par récurrence $\forall n \in \mathbb{N},\ a_n \mbox{ est definie et } a_n \geq 1$ .

On a $a_0 = a_1 = 97 \geq 1$ . La proposition est vraie pour 0 et 1.

Supposons que pour un entier $n \geq 1$ $a_{n-1} \geq 1$ et $a_{n} \geq 1$ ,
alors $(a_{n}^2-1)(a_{n-1}^2-1) \geq 0$ , donc $a_{n+1}$ est définie.
De plus $a_{n+1} \geq a_{n-1}a_n \geq 1$ . Le proposition est vraie au rang n+1.

Pourquoi ai-je choisi de montrer que $a_n \geq 1$ pour tout entier naturel ? Simplement parce que c'était la condition suffisante (mais pas nécessaire) la plus simple pour que la suite soit définie.
Coup de chance, c'est la bonne.

**Tiky** · 17/09/2011, 12h28

Il y a une erreur dans ma démonstration du second principe. Cette limitation du temps d'édition est vraiment infernal pour rester courtois.

invite7eed2b83 · 17/09/2011, 12h50

D'accord, merci beaucoup mais la première partie de votre raisonnement pour montrer que A=N , je n'ai pas besoin de lm'écrire dans mon exercice , c'est bien ça ?
Et pour la question 2)a, pourriez vous juste m'aider pour la récurrence, c'est ce que je pensais faire, en me donnet la propriété à vérifier, moi je pensais montrer que pour n>1 on a argch(A(n+1)= argch(An) + argch(A(n-1)

Merci d'avance

**Tiky** · 17/09/2011, 13h01

Je reprends la démonstration du second principe à zéro.

Soit A une partie de $\mathbb{N}$ qui contient 0 et 1 et telle que : $\forall n \geq 1,\ [\ n-1 \in A\ \mbox{et}\ n \in A\ ] \Rightarrow n+1 \in A$

Montrons par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, n \in A \mbox{ et } n+1 \in A$ .
- pour n = 0 c'est vrai puisque 0 et 1 sont dans A par hypothèse.

- supposons que pour $n \geq 0$ , on ait $n \in A$ et $n+1 \in A$ . Alors on sait que $n+2 \in A$ .
Donc $n+1 \in A \mbox{ et } n+2 \in A$ est vrai au rang.

invite7eed2b83 · 17/09/2011, 23h02

D'accord, je viens de comprendre ce que vous avez fait, auriez vous une piste pour la question suivante?

Merci d'avance

**Tiky** · 17/09/2011, 23h54

$\cosh(t_{n+1}) = a_{n+1} = a_n a_{n-1} + \sqrt{(a_n^2-1)(a_{n-1}^2-1)} = \cosh(t_n)\cosh(t_{n-1}) + \sqrt{(\cosh(t_n)^2-1)(\cosh(t_{n-1})^2-1)}$

Prouve que :
- $\forall x \in \mathbb{R},\ \cosh(x)^2-\sinh^2(x) = 1$
- $\forall x, y \in \mathbb{R}, \cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y)$
- $\forall x \geq 0, \sinh(x) \geq 0$

Tu pourras conclure.

invite7eed2b83 · 18/09/2011, 08h47

D'accord, merci beaucoup par contre je n'ai pas encore vu la fonction cosh mj'ai juste étudier en cours la fonction coth, mais je vais essayer avec ch

Merci d'avance

**Tiky** · 18/09/2011, 09h07

cosh est la notation américaine pour le cosinus hyperbolique que tu notes ch.

invite7eed2b83 · 18/09/2011, 09h47

D'accord, merci beaucoup, je vais y réfléchir et dès que j'ai fini je vous direz ce que j'obitens

Merci d'avance

invite7eed2b83 · 18/09/2011, 10h52

Ca y est j'ai fini la question 2)a et effectivement ce n'était pas très compliqué, j'aurais du le voir, merci pour vos indications, j'ai commencé la 2)b en partant du membre de gauche et j'arrive à:

[ 2cosh( (t(n-1)+t(n-2)) / 2) ]^2

et aprsè je ne comprend pas comment passé de t(n-1)+t(n-2) à fn*t1

je vois bien qu'il y a une grande ressamblance avec an et tn mais je ne vois pas comment passer de l'un à l'autre

Merci d'avance

**Tiky** · 18/09/2011, 11h18

L'énoncé est assez mal conçu. Je te rappelle que $\mathrm{ch}\ :\ \mathbb{R}_+ \to [1, +\infty[$ est bijective. On note $\mathrm{Argch} : [1, +\infty[ \to \mathbb{R}_+$ son inverse.
Quelle relation de récurrence vérifie $(t_n)$ ?

invite7eed2b83 · 18/09/2011, 11h41

D'accord, donc on a t(n+1)= tn + t(n-1)
donc t(n+2)= t(n+1) + tn
t1=t2

donc t et f vérifie la même relation donc t=f , et donc je remplace dans ce que j'ai obtenu poarcontre il me manque la multiplication par t1, j'y réfléchie

Merci d'avance

**Tiky** · 18/09/2011, 11h57

Attention, ce n'est pas parce que les deux suites vérifient la même relation de récurrence qu'elles sont égales. Encore faut-il que les deux premiers termes soient les mêmes, ce n'est pas le cas et c'est pour ça qu'il y a cette constante.

invite7eed2b83 · 18/09/2011, 12h40

D'accord, merci beaucoup, j'ai compris , je vais essayer de faire la dernière question

invite7eed2b83 · 18/09/2011, 13h05

C'est bon, je crois que j'ai réussi la dernière question, j'obtiens:
pour le premier j'obtiens que sa racine vaut 2ch((fn*t1)/2) (d'après la question précedente)
et pour le deuxèieme j'obtiens que sa racine vaut 2ch((fn*t1)/4)
vous obtenez aussi cela?

Merci d'avance

**Tiky** · 18/09/2011, 14h36

Et qui te dis que ce sont des nombres entiers ?

invite7eed2b83 · 18/09/2011, 15h22

Effectivement rien ne me le dit,merci de me l'avoir fait remarquer, je vais y réfléchir

invite7eed2b83 · 18/09/2011, 18h19

Je suis désolé de vous demander encore une piste, parce que je ne vois pas trop comment montrer que ce sont des entier, (fn) est une suite d'entier

Merci d'avance

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