Bonjour à tous j'ai un exercice a faire et je bloque sur quelques points et je ne suis pas sur de certaines réponses.

Soit E un ensemble, Soit A appartenant P(E).
On définit les application f et g suivantes.

f: P(E) -----> P(E) g: P(E) ------> P(E)
X ------> X inter A X ------> X union A


1) Calculer f(ensemble vide ) , g(E), f( CE(A)), g(CE(A)). (On rappelle que CE(A) désigne le complémentaire de A dans E).

2)Dans le cas ou A=E, qu'est-ce que l'application f? En deduire qu'alors f est bijective.

3)Dans le cas ou A= ensemble vide , qu'est-ce que l'application g ? En deduire qu'alors g est bijective.

4)Montrer ( en utilisant la question 1) que si A different E , alors f est non injective.
En deduire une condition nécessaire et suffisante portant sur A pour que f soit injective.

5) Montrer ( en utilisant la question 1) que si A different de l'ensemble vide, alors g est non injective.
En deduire une condition nécessaire et suffisante portant sur A pour que f soit injective.

6) Montrer que si A different E, alors f est non surjective. ( on consideras l'image réciproque f^-1({E{) ).
En deduire une condition nécessaire et suffisante portant sur A pour que f soit injective,
puis une condition nécessaire et suffisante portant sur A pour que f soit bijective.

7) Montrer que si A different de l'ensemble vide, alors g est non surjective. ( On considérera l'image réciproque g^-1({0{) )
En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur A pour que g soit surjective, puis une condition nécessaire et suffisante portant sur A pour que g soit
bijective.

Pour le moment j'ai trouver :

1) F(ens vide ) = ens vide
g(E)= E union A = E
f(Ce(A))= Ce(A) inter A = A (mais je ne suis pas sur )
g(Ce(A))= Ce(A) union A= A

2) si A=E alors je fais correspondre X inter A = X donc f est l'application identité, mais pour f est bijective je sais pas comment on le deduit

3) Même raisonement que le 2)

4)
si A <>E il existe un b dans E et b pas dans A
alors f(ensemble vide) = f({b}) = ensemble vide donc pas injective

Donc si je pouvais avoir quelques conseils pour la suite , je vous en serais reconnaissant .