Arithmetique des polynomes

[uppa92]

Bonjour,

dans un exercice, on me demande de montrer qu'il n'existe pas d'entier relatif p tel que : p³ - 3p +1 = 0. Puis d'en déduire que le polynôme P = X³ - 3X + 1 n'a pas de racines dans Q.

Pour la première partie de la question, je suppose qu'il existe un tel p.
J'en déduis alors que p(p² - 3) = - 1.
Donc p doit donc diviser -1 (i.e p = 1 ou -1 (*)) et p² - 3 doit également diviser -1 (i.e p² = 2 -> impossible pour un entier relatif ou p² = 4 et donc p = 2 ou -2) ce qui contredit (*). Est-ce correct ?

Pour la 2e partie je raisonne encore par l'absurde, en posant p/q un rationnel avec p et q 1ers entre eux. On a alors P(p/q) = 0 i.e (p/q)³ - 3 (p/q) + 1 = 0. Donc p³ - 3pq²+q³ = 0 et là je suis bloqué.

Quelqu'un peut-il m'aider ?

uppa92
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[phys4]

Je pense qu'il y a plusieurs façons de faire.
Par exemple votre dernière équation peut s'écrire


P et q étant premiers entre eux, le premier membre est une fraction et le second membre est un entier.

[God's Breath]

Donc p³ - 3pq²+q³ = 0 et là je suis bloqué.

Donc : et divise .
Si l'on a pris soin de prendre un représentant irréductible du rationnel initial, on en déduit que .

[uppa92]

merci pour ses solutions.

[A voir en vidéo sur Futura]