Résoudre dans "complexe" les équations suivantes

[invite8e04bc9f]

Bonsoir tous le monde.

Nouveau sur le forum, j'espère pouvoir participer activement et trouver de bonnes aides.



Actuellement, nous étudions les nombres réels et complexes.

Voici deux équations que j'ai à résoudre. (Je vous demande pas de me donner la solution mais juste de m'aider pour le point de départ, car je suis un peu perdu). Je pense que le faîte de comprendre le point de départ de ses résolution pourrait m'aider.


1) (z+i)^n = (z-i)^n - J'ai commencé par mettre le second membre à gauche puis après je ne sais pas vraiment commencer.

2) e^z = \/¯3+i




Merci d'avance de m'aider à commencer
-----

[invite427a7819]

Salut !

Pour la première, je n'ai pas vraiment d'idée. Peut être factoriser (z+i)^n - (z-i)^n ? Tu aurais au moins une solution, même si la somme derrière serait plutôt moche.

Pour la seconde, par contre, j'écrirais z sous la forme algébrique (pour te servir de la définition de l'exponentielle complexe, e^(a+ib) = e^a * e^ib) et sqrt(3) + i sous forme exponentielle. De là, tu te retrouves avec deux formes exponentielles, et tu en déduis sans trop de mal des conditions sur la forme algébrique de z.

[inviteea028771]

Pour la première, écrit z=a+ib, puis calcule le module de z+i et z-i, passe les sous forme exponentielle (en appellant theta1 et theta2 les arguments de z+i et z-i) et calcule les modules de (z+i)^n et (z-i)^n. Tu va obtenir une condition sur z.
A partir de là, tu va pouvoir calculer plus facilement les arguments de z+i et z-i (du moins sin(theta1), sin(theta2), cos(theta1) et cos(theta2)), et donc obtenir les solutions.

Pour la seconde, écrit z = a+ib, sépare l'exponentielle en 2 : tu as le module et l'argument de e^z. Calcule le module et l'argument de et identifie les deux

[invite8e04bc9f]

Merci à vous deux !

J'étudierai ça de plus près demain après les cours.


Encore merci pour cette vitesse d'exécution !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite81027df7]

Bonsoir,

Pour la 2) la solution a été donné, pour la 1) une petite (enorme) indication : pense aux racines n-iémes de l'unité ... divise par
(z-i)^n ton equation en prenant des precautions ...