sur la partie entière

[L-etudiant]

Salut,

j'ai un petit exercice sur la partie entière qui pose problème.

A , on associe le plus grand tel que . On note .

1. Montrer que cela est bien définie.
2. Tracer son graphe.
3.Montrer que E est sur-additive.
4.Montrer que si , alors .

Pour 1, j'ai dit que
tel que n<= x < n+1.
n=E(x).

Je sais pas si ca suffit ou pas... Sinon, je pensais a utiliser le fait que
E(x) = max{n ; n <= x}.

2, c'est bon.

3. J'ai fait :

E(x)+E(y)=max{n1 / n1 <= x} U max{n2 / n2 <= y} <= max{n / n <= x+y} = E(x + y)

4. J'ai tenté une récurrence mais j'ai pas abouti...

Toute aide sera la bienvenue !

Merci !

@+
-----

[Tiky]

Bonjour,

Pour la question 4), il faut et il suffit de montrer que
tu as : . Donc et comme la partie entière est croissante,

Je te laisse chercher l'autre inégalité.

[Tiky]

En y repensant, tu peux directement utiliser ta question 3 pour établir l'égalité.

[L-etudiant]

Merci Tiky.

Je vais essayer ça.

Je suppose que le reste est bon ?

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[L-etudiant]

Re,

donc j'ai essayé avec avec la sur-additivité... en vain. (J'ai ajouté/retranché une meme valeur, sinon je vois pas où l'utiliser)

Pour l'inégalité,



Donc



En espérant avoir bon.

Merci

@+

[Tiky]

Re,

donc j'ai essayé avec avec la sur-additivité... en vain. (J'ai ajouté/retranché une meme valeur, sinon je vois pas où l'utiliser)

Pour l'inégalité,



Donc



En espérant avoir bon.

Merci

@+

Comment justifies-tu que :


En fait, tu peux montrer directement que . Comme tu as déjà que , tu auras démontré l'égalité.

Il suffit d'utiliser la sous-additivité : . Donc en utilisant le fait que partie entière est croissante.

[L-etudiant]

Salut,

en retravaillant un peu :



Ce qui est l'encadrement voulu.

Donc

Est-ce bon ?

Et je reviens sur la question 1, je me demande si c'est assez developpé, mais je ne sais pas trop faire comment plus.

@+ Merci.

[L-etudiant]

Salut,

deole mais j'up, j'aimerai une reponse au moins demain. Merci/.

@+

[Tiky]

Ta démonstration est bonne. Pour en revenir à la question 1, j'aurais plutôt tendance à utiliser le fait que est archimédien. C'est-à-dire que :


Donc si je prends et positif, il existe un entier naturel n tel que . Je pose .
On vient de montrer que est non-vide. En tant que partie non-vide de , admet un plus petit élément que l'on note .

On a alors nécessairement . Comme est unique, on peut poser si et sinon.
On a ainsi défini la partie entière pour les réels positifs. C'est facile d'étendre cette définition aux réels négatifs.

[L-etudiant]

Salut,

merci de votre reponse et meme des vos reponses.

Mais j'ai laissé la mienne car je n'ai pas eu le temps de bien etudier la votre.

Merci.

@+