séries numériques, démonstration d'égalités

[theguitarist]

Bonjour à tous !
Depuis le début de la semaine on travaille sur les séries numériques (je suis en Math spé) et dans un exercice donné à faire chez soi, on nous demande de justifier l'égalité suivante :



Après l'avoir retournée dans tous les sens, je n'arrive à rien de bien concluant, donc si quelqu'un a une idée, quelque chose pour me mettre sur la voie, je suis absolument preneur

merci d'avance à tous et bon aprem !

Quentin
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[Tiky]

Bonjour,

Ta formule est sans doute incomplète puisqu'il n'y a pas de x dans le membre de gauche...

[theguitarist]

Aarg désolé, si je commence par mal recopier la formule c'est sûr on va pas s'en sortir ! la vraie est celle ci :



j'avais remplacé le x par un 1... autant pour moi !

[invitea07f6506]

Une première étape serait de réaliser la décomposition en éléments simples de . Ceci permet d'obtenir une somme (et non un produit) de termes de la forme , que l'on peut ensuite regrouper (l'intérêt, c'est que ces termes sont regroupés dans la formule de droite). Il reste à simplifier les , et à les sommer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[theguitarist]

Bonjour !
désolé pour le retard dans ma réponse, j'ai eu beau cherché la décomposition en éléments simples, je n'y suis pas parvenu... toutefois mon prof m'a dit que c'était en effet une bonne méthode pour aborder l'exercice ! C'est déjà ça merci beaucoup !

Si jamais quelqu'un peut m'aider à faire la décomposition, je me suis un peu perdu dans des lignes de calculs interminables qui n'ont plus beaucoup de chance de mener à quelque chose de juste...

[inviteea028771]

Il faut chercher a écrire :



Pour trouver , il suffit de multiplier les deux cotés de l'égalité par (x+k), puis de poser x= -k.

On obtient alors :

[theguitarist]

haa ouais ok !!! fallait voir la ruse, finalement on peut utiliser cette méthode pour faire n'importe quelle décomposition en éléments simples c'est cela ? merci beaucoup en tout cas ça m'aura bien aidé !! je pense avoir tout compris, je vais pouvoir dormir sur mes deux oreilles =D

[inviteea028771]

Tu peux en effet utiliser cette décomposition si ton polynôme n'a que des racines simples. Ça ne marche plus dès que tu as des racines multiples (et c'est plus pénible à calculer)

[theguitarist]

c'est à dire s'il y a un dénominateur du type (a-x)²(b-x) (c'est juste un exemple) ?

[inviteea028771]

Disons que ce n'est plus aussi immédiat.

Si ta fraction est , son développement en éléments simple est de la forme

On voit que l'on peut facilement obtenir b et d par la méthode précédente, mais pas a et c. Il faut donc tout mettre au même dénominateur et identifier : c'est plus long