Forme linéaire continue positive sur un Banach

[invite97a526b6]

Bonjour, voici ma question:

Soit L^p le Banach des fonctions d'un espace mesuré dans R.
Soit phi une forme linéaire continue positive de L^p* (dual topo de L^p).
Soit f >= 0, f € L^p.
Je pose phi⁺(f) = sup{phi(g), 0 <= g <= f}.
Soit f₁, f₂ >= 0 dans L^p.

Comment démontrer: phi⁺(f₁+f₂) >= phi⁺(f₁) + phi⁺(f₂) ?

Dans mon cours, cela est considéré comme évident, mais cela ne l'est pas du tout pour moi...
Merci pour réponse.
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[invited73f5536]

Bonjour.

Il y a un problème dans ton énoncé

Si est une forme positive, alors on a pour tout , d'où l'on tire .

Lorsque est positive, ça n'a donc pas grand intérêt d'introduire . Tu es sur que tu n'es pas plutôt en train de traiter le cas où est une forme linéaire continue quelconque ? (non nécessairement positive)

[invite97a526b6]

Bonjour.

Il y a un problème dans ton énoncé

Si est une forme positive, alors on a pour tout , d'où l'on tire .

Lorsque est positive, ça n'a donc pas grand intérêt d'introduire . Tu es sur que tu n'es pas plutôt en train de traiter le cas où est une forme linéaire continue quelconque ? (non nécessairement positive)

Si est une forme positive, alors on a pour tout

Cette affirmation n'est pas vraie. Une forme positive n'est pas forcément croissante, c'est à dire n’entraîne pas .
Je rappelle la df d'une forme phi linéaire continue positive : QQS f € Lp, f >=0 => phi(f) >=0. L'ordre sur les arguments (les f de Lp) n'implique pas l'ordre sur les valeurs de la forme.

[invited73f5536]

Bien sur que si !!

Si , alors , donc par positivité de , on trouve que .
La linéarité de donne , c'est-à-dire ...

Quand on prétend qu'une affirmation n'est pas vraie, on fournit un contre-exemple, c'est la moindre des choses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

Si et si est une forme linéaire positive, on n'a pas :



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Sinon, même en prenant en compte la remarque faite par Arkhnor, la question initiale est assez simple. Choisissons un , et des fonctions et telles que et .

Que dire de ? De ?

[invite97a526b6]

Bien sur que si !!

Si , alors , donc par positivité de , on trouve que .
La linéarité de donne , c'est-à-dire ...

Quand on prétend qu'une affirmation n'est pas vraie, on fournit un contre-exemple, c'est la moindre des choses.

Autant pour moi, tu as raison sur toute la ligne! Donc phi est bien une forme quelconque. Mille excuses.

[invited73f5536]

Bonjour Garf,

La question est en effet simple, je voulais juste souligner qu'on ne fait ce "traffic" avec que lorsque la forme est quelconque, ce qui permet de se ramener au cas d'une forme positive, traité préalablement.