Application linéaire non continue en dimension finie

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais trouver un exemple en dimension finie d'une application linéaire qui n'est pas continue.

Dans le cas où toutes les normes sont équivalentes, on peut prouver qu'il n'y a pas de contre-exemples. Donc il faut nécessairement se donner un corps de base qui n'est pas complet.

Le plus simple serait de considérer .

Sur , il n'y a pas non plus de tels contre-exemples puisqu'il est possible de caractériser complètement les applications linéaires ; mais peut-être ?

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance,
Seirios
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[Seirios]

Il me semble également que si on considère initialement un K-espace vectoriel E alors doit pouvoir se ramener à E comme -espace vectoriel (avec le complété de K). Donc si est de dimension finie sur , il ne doit pas y avoir de contre-exemple.
Comme est de dimension infinie sur , je pense qu'il doit y avoir possibilité de trouver un contre-exemple.

[leon1789]

Quels sont les automorphismes de ? Sont-ils continus ?

[Seirios]

Si je ne me suispas trompé, il n'y a que l'identité et l'application qui sont toutes les deux continues. A moins que je n'aie pas considéré la bonne topologie ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Si je ne me suispas trompé, il n'y a que l'identité et l'application qui sont toutes les deux continues. A moins que je n'aie pas considéré la bonne topologie ?

On prend la topologie induite par restriction de la valeur absolue, non ?
Dans ce cas, il me semble que n'est pas continue.

[invite4ef352d8]

Note aussi que dire que deux norme N1 et N2 ne sont pas équivalente c'est dire que l'identité de (E,N1) -> (E,N2) n'est pas un homéomorphisme

donc soit c'est un exemple d'application discontinu, soit sa réciproque est un exemple d'application discontinu !


de même si on met sur Q(sqrt(2)) la valeur absolue de R, alors l'application x+sqrt(2).y -> x est discontinu.


en revanche si tu prend un espace vectorielle de dimension fini (avec une base fixé), et que tu le munie d'une norme qui rend continu les formes linéaire coordoné (par exemple la norme infini...) alors toute application linéaire partant de cet espace sera continu...

[Seirios]

D'accord, merci à vous deux.