Groupe Linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps quelconque

[invite7c6483e1]

Bonjour,

Je suis sur un exercice que je n'arrive pas vraiment à traiter à cause d'un manque de connaissances sur les polynômes sur n'importe quel corps...

Voici l'énoncé :

Soit un corps quelconque de caractéristique autre que 2. Soit G le sous-groupe de tel que .

Je dois démontrer dans un premier temps que .

J'ai commencé par prendre le corps des réels. Comme le polynôme est annulateur de tout , son polynôme caractéristique est scindé à racines simples aussi. Donc tout est trigonalisable au moins. On a de plus à satisfaire pour appartenir à G. Or det(g) est le produit des valeurs propres incluses dans l'esemble des racines de . Ces racines sont soit toutes les deux complexes ( et ) soit toutes les deux réelles. Donc le spectre de tout est inclut dans .
Donc il existe une base dans laquelle je peux écrire la matrice de tout sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure avec que des éléments de S sur la diagonale apparaissant par paires pour satisfaire la valeur du déterminant. Trouver une majoration du cardinal de G revient à trouver une majoration du nombre de "diagonales possibles" ainsi définies. Ici on a globalement possibilités. Mais en réalité fixer un élément diagonal en fixe une paire comme dit avant. La condition sur le déterminant oblige les éléments et à apparaître par couples. Il faut distinguer selon la parité de la dimension. Donc si est pair, il y a cases à remplir donc exactement possibilités. Si est impair, il y a cases à remplir donc si , il y a exactement possibilités qui est inférieur à .

C'est déjà compliqué avec le corps des complexes, alors si j'me mets à regarder les corps de caractéristique quelconque omg quoi !

En gros c'est l'ensemble des solutions possibles de l'équation qui nous intéresse, mais ça peut aller dans tous les sens avec des corps quelconques non ?
Je sais que si on est en caractéristique un entier , l'élément est une solution. Mais est-ce la seule ?

Il y a du petit théorème de Fermat là dedans ?
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[Hamb]

edit : oups j'ai dit une betise

[invite7c6483e1]

Je travaille modulo la conjugaison des matrices pour qu'elles soient semblables à une matrice trigonalisée. Mais je ne saurais même pas contredire ton affirmation qui est fausse, sinon mon exercice n'existerait pas ! :P

[invite2e5fadca]

1) Montre que G est commutatif et finie.
2) Justifie que tout éléments est diagonalisable.
3) Tu peux en déduire que tout les éléments de G sont diagonalisables dans une bases communes, et donc tu peux en déduire le résultat voulu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c6483e1]

Je sais démontrer 1 et 2 c'est facile.
Je ne vois pas comment tu peux en déduire "comme par magie" le résultat voulu ... Tu ne sembles pas prendre en considération la caractéristique du corps de base ...

[Hamb]

le polynôme X²-1 admet exactement 2 racines distinctes (1 et -1) dans tout corps k de caractéristique différente de 2 (si le corps est de caractéristique 2, alors 1 = -1 ...)

[invite7c6483e1]

le polynôme X²-1 admet exactement 2 racines distinctes (1 et -1) dans tout corps k de caractéristique différente de 2 (si le corps est de caractéristique 2, alors 1 = -1 ...)

Comment tu le démontres ?

Et j'ai confondu avec X^2+1 quand j'ai calculé les racines possibles... trop un boulet xD désolé !

[Hamb]

k est un corps, donc X²-1 a au plus 2 racines. si la caractéristique est différente de 2, alors -1 != 1, car sinon comme par définition -1 + 1 = 0, on aurait 2 = 0
enfin 1²=1 donc 1 est racine et -1*(-1 + 1) = -1 * 0 = 0, i.e (-1)² -1 = 0 donc -1 est également racine.

edit : le fait que dans un corps un polynome a au plus son degré comme nombre de racines comptées avec leur multiplicité découle de la division euclidienne (je sais pas si c'est ca qui te posait problème)

[invite7c6483e1]

oui je savais le montrer modulo le fait d'admettre cette propriété sur le nombre maximum de racines...
ça a toujours été flou pour moi, dans quels cas un polynôme peut avoir plus de racines que son degré ? Parce que je connais des cas bizarre du style: un polynôme sur un corps fini n'est pas toujours irreductible si aucun élément du corps ne l'annule ...

[Hamb]

le polynôme peut avoir plus de racines que son degré dans le cas ou il ne prend pas ses coefficients dans un corps. par exemple un polynome à coefficients dans Z/4Z : X² admet 4 racines dans Z/4Z en comptant les multiplicité : 0 et 2 sont racines doubles

[invite7c6483e1]

Bon maintenant que j'ai montré que le cardinal de est inférieur à , il faut que j'en déduise que si alors

Je ne vois pas du tout le rapport !

[invite7c6483e1]

Bon j'ai cherché un peu de mon côté et je sais que:

1) est engendré par les dilatations et transvections.

2) Une matrice telle que est une matrice symétrique orthogonale.

3) Il y a moins de matrices symétriques orthogonales.

4)Toute matrice orthogonale est produit d'au plus réflexions orthogonales (dilatations de rapport -1 d'hyperplan orthogonal à la directrice).

Donc pour montrer qu'il n'y a aucun isomorphisme entre et il faudrait que je mette tout ça ensemble ...

[invite7c6483e1]

Pas d'idées les gens ? ^^

[invitebe0cd90e]

Sauf erreur, l'astuce est la suivante : tu as montré ton inegalité, et montré que tout sous groupe verifiant tes hypothese peut se ramener a un groupe constitué de matrice diagonale avec des 1 ou des -1 sur la diagonale.

Maintenant, parmi ces sous groupe, il te suffit de prouver qu'il en existe un qui realise ce cardinal maximal, cad de cardinal 2^n. Ensuite, si m<n et s'il existe un iso GL_n -> GL_m, l'image de ton groupe va contredire ton inegalité.

[invite7c6483e1]

Ah ! ok c'est la première fois que je me retrouve devant ce genre de raisonnement ... faut dire qu'en algèbre et surtout en théorie des groupes les inégalités on ne sait pas trop "comment les prendre" !

je vais chercher un peu à présent ! merci beaucoup

[invitebe0cd90e]

Bien sur, ici ca fonctionne parce qu'on peut trouver un sous groupe pour lequel cette inegalité devient une egalité, sinon on ne serait pas tres avancé

[invite7c6483e1]

Hello !

Bon j'voulais juste préciser ce que j'ai fait ...
Pour montrer que le cardinal de G est inférieur à , j'ai montré qu'il n'y avait que des 1 ou -1 comme v.p. et que donc au total ça faisait . Mais pour montrer que c'est plus petit j'ai dit: comme n'est pas abélien, il y a des matrices semblables dedans. Donc parmi mes matrices, il y en a qui représentent le même endormorphisme modulo un changement de base...
C'est correct ?

En tout cas je n'ai pas d'idée pour trouver LE sous-groupe qui est du bon cardinal parce que l'argument précédent m'amène à des contradictions...

[invite2e5fadca]

Un polynôme a moins de racine que son degré s'il est à coefficient dans un anneau commutatif intègre.

Comme dit ci-dessus X^2 a plus de racines que son degré, mais il n'en a pas 4 mais 3. (0 est racine double et 2 est racine simple)

[invite2e5fadca]

Nan j'ai dit une bêtise, il s'agit bien de racine double deux fois... DSl

[invitebe0cd90e]

Non, ton argument ne tient pas, puisque le changement de base s'applique a tous les elements du groupe

Tu raisonnes comme si les conditions que tu avais determinais ce sous groupe de maniere unique. Ca n'est pas le cas !!! l'idée c'est qu'il y en a plusieurs, et que "le plus gros d'entre eux", qui n'est autre (a changement de base pres) que le groupe qui contient toutes les matrices diagonale avec des 1 et des -1, est de cardinal 2^n.

Prend par exemple le groupe {Id,-Id} sur un espace de dimension n>3, tous ses elements sont de cardinal 2, il satisfait donc a tes hypothese, mais il n'est pas "maximal" pour ces hypotheses.

[invite7c6483e1]

Merci pour ta réponse ! Mais je n'y comprends rien haha
Tu dis ça:

Comme dit ci-dessus X^2 a plus de racines que son degré, mais il n'en a pas 4 mais 3. (0 est racine double et 2 est racine simple)

Mais un corps commutatif (ce qui est mon cas) est un anneau commutatif intègre aussi... Donc les polynômes n'admettent PAS plus de racines que leur degré d'après ce que tu dis (ce qui est vrai).

Or toi tu dis ensuite

Comme dit ci-dessus X^2 a plus de racines que son degré, mais il n'en a pas 4 mais 3. (0 est racine double et 2 est racine simple)

d'abord cela se contredit et je ne vois pas d'où tu sors ...

peux tu préciser ce à quoi tu penses ?

[invite4ef352d8]

LE sous-groupe qui est du bon cardinal >>> Il n'est pas unique ! mais avec ce que tu viens de faire (la co-diagonalisation) tu peux prouver que les tel sous groupes maximaux sont les conjugué du groupe des matrices diagonal dont les coeficiant sont +1 et -1.

[invitebe0cd90e]

Fuliculli : Je crois que tu as raté qq messages, as tu vu que la discussion a debordé sur une 2e page ?

J'en proifte pour corriger, dans mon precedent message il fallait bien sur lire "tous ses elements sont d'ordre 2".

[invitebe0cd90e]

LE sous-groupe qui est du bon cardinal >>> Il n'est pas unique ! mais avec ce que tu viens de faire (la co-diagonalisation) tu peux prouver que les tel sous groupes maximaux sont les conjugué du groupe des matrices diagonal dont les coeficiant sont +1 et -1.

Oui, bien sur il n'est pas unique Mais comme on a vu qu'on pouvait se ramener a ce cas, je me placais deja dans "l'ensemble des sous groupe constitués de matrices diagonales avec des 1 et des -1"

[invite4ef352d8]

ba dans ce cas, il est assez claire de donner celui qui as le cardinal maximal : l'ensemble des "matrices diagonal avec des +1 et -1 sont sur la diagonal" est bien un groupe et il a bien 2^n comme cardinal.

[invitebe0cd90e]

ba dans ce cas, il est assez claire de donner celui qui as le cardinal maximal : l'ensemble des "matrices diagonal avec des +1 et -1 sont sur la diagonal" est bien un groupe et il a bien 2^n comme cardinal.

Bah oui, c'est bien ce que j'avais en tete mais je ne voulais pas trop en dire

[invite2e5fadca]

Je disais le résultat :

"Soit P un polynôme de A[X] où A est un anneau commutatif intègre. Alors P a au plus deg P racines."

Donc, c'est vrai dans le cas des corps en particuliers.