espace vectoriel normé dimension finie

[invitee38efe6a]

Bonjour,
je vous donne mon l'énoncé:

Soit (E, ||.||) un espace vectoriel normé de dimension finie.
1) Montrer que tout sous-espace vectoriel F de E est fermé dans E.
2) Montrer que E est le seul sous-espace vectoriel de E qui soit ouvert.

Est ce que je peux faire :
1) Tous sous espace vectoriel F de E est borné par E donc peut être inclus dans une boule de centre x appartenant à F et de rayon r>0. La boule est inclus dans E, F est fermé dans E.

2) même raisonnement, E ne peut pas être inclus dans la boule de centre x app à E et de rayon r>0.


Dans mes lectures sur le net, on parle plutôt de passer par les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie. Mais je vois pas en quoi on en déduit que tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé.

Merci à ceux qui seront ma lumière!
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[invite57a1e779]

Un sous-espace vectoriel non réduit à contient des droites... et sera donc difficilement borné.

Il est plus simple de considérer une suite convergente quelconque , de limite et de prouver que :
si cette suite est à valeurs dans , alors est élément de .