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forme n-lineaire alternée sur un espace vectoriel de dimension n



  1. #1
    invite77420056

    forme n-lineaire alternée sur un espace vectoriel de dimension n


    ------

    bonjour à tous

    "toutes les formes n-lineaires alternées sur E sont colineaires.elles forment donc un sous espace vectoriel de dimension 0 ou 1 de
    L_n(E,K)"

    quelqu'un peut il ml'expliquer cete phrase car je n'y comprend rien .

    merci par avance.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Arkhnor

    Re : forme n-lineaire alternée sur un espace vectoriel de dimension n

    Bonjour.

    Toutes les formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension sont n sont colinéaires.
    Cela signifie que si tu te donnes deux formes n-linéaires alternées et , alors il existe un scalaire tel que .

    Les formes n-linéaires alternées forment un sous-espace vectoriel de l'espace des formes n-linéaires, le résultat précédent implique donc que la dimension du sous-espace est 0 ou 1. (0 s'il n'y a que la forme nulle, c'est à dire si l'espace E est de dimension 0, et 1 autrement)

  4. #3
    invite77420056

    Re : forme n-lineaire alternée sur un espace vectoriel de dimension n

    "f(x1,x2,...,x_n)=f(sigma de i=1 à n des a_i1 e_i,sigma de i=1à n des a_i2 e_i,...,sigma de i=1 à n des a_in e_i)

    le devellopement de cette expression contient en principe n^n termes,qui sont nuls des que le meme indice i est choisi plusieurs fois
    on ne conserve donc que les n! termes correspondant au choix d'une permutation d'indices i."


    pourquoi y a t il n^n termes et pourquoi ne conserve t ont que les n! teremes correspondant au choix d'une permutation d'indices i ?

    pouvez vous aussi m'expliquez l'enoncé avec une formule mathematique et bien expliquée ?


    merci par avance.

  5. #4
    taladris

    Re : forme n-lineaire alternée sur un espace vectoriel de dimension n

    Salut,

    par n-linéarité, tu as

    Pour la première somme (dont les termes sont indicés par ), il y a n termes. De même pour la deuxième, la troisième,... et la n-ième somme. Soit termes en tout.

    Ensuite, une propriété important d'une n-forme alternée est que est nul dès que deux vecteurs sont égaux.
    Ici, on a donc nul dès que deux indices sont égaux. Il ne reste donc dans la somme que les termes où tous les indices sont distincts. Comme on doit choisir n indices dans , cela correspond bien à une permutation.

    Cordialement

    Edit: impossible d'écrire correctement la première formule.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite77420056

    Re : forme n-lineaire alternée sur un espace vectoriel de dimension n

    merci beaucoup pour vos reponses.

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