forme n-lineaire alternée sur un espace vectoriel de dimension n

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

"toutes les formes n-lineaires alternées sur E sont colineaires.elles forment donc un sous espace vectoriel de dimension 0 ou 1 de
L_n(E,K)"

quelqu'un peut il ml'expliquer cete phrase car je n'y comprend rien .

merci par avance.
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[invited73f5536]

Bonjour.

Toutes les formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension sont n sont colinéaires.
Cela signifie que si tu te donnes deux formes n-linéaires alternées et , alors il existe un scalaire tel que .

Les formes n-linéaires alternées forment un sous-espace vectoriel de l'espace des formes n-linéaires, le résultat précédent implique donc que la dimension du sous-espace est 0 ou 1. (0 s'il n'y a que la forme nulle, c'est à dire si l'espace E est de dimension 0, et 1 autrement)

[invite69d45bb4]

"f(x1,x2,...,x_n)=f(sigma de i=1 à n des a_i1 e_i,sigma de i=1à n des a_i2 e_i,...,sigma de i=1 à n des a_in e_i)

le devellopement de cette expression contient en principe n^n termes,qui sont nuls des que le meme indice i est choisi plusieurs fois
on ne conserve donc que les n! termes correspondant au choix d'une permutation d'indices i."


pourquoi y a t il n^n termes et pourquoi ne conserve t ont que les n! teremes correspondant au choix d'une permutation d'indices i ?

pouvez vous aussi m'expliquez l'enoncé avec une formule mathematique et bien expliquée ?


merci par avance.

[invite14e03d2a]

Salut,

par n-linéarité, tu as

Pour la première somme (dont les termes sont indicés par ), il y a n termes. De même pour la deuxième, la troisième,... et la n-ième somme. Soit termes en tout.

Ensuite, une propriété important d'une n-forme alternée est que est nul dès que deux vecteurs sont égaux.
Ici, on a donc nul dès que deux indices sont égaux. Il ne reste donc dans la somme que les termes où tous les indices sont distincts. Comme on doit choisir n indices dans , cela correspond bien à une permutation.

Cordialement

Edit: impossible d'écrire correctement la première formule.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

merci beaucoup pour vos reponses.