[Algèbre linéaire] Dimension d'un sous-espace vectoriel engendé par deux vecteurs

[invitef934eafc]

Bonjour, j'ai beaucoup de difficulté avec cet exercice :

Soit E un -espace vectoriel de dimension . Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension et soit G un supplémentaire de F.

Soient (u,v) une base de G, f un vecteur de F et G' le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs u+f et v+f.

1) Quelle est la dimension de G'?
2) Montrer que les sous-espaces F et G' sont supplémentaires.

J'ai trouvé grâce au théorème du rang que la dimension de G est 2. Je sais aussi que puisque G' est engendré par 2 vecteurs, alors sa dimension est inférieure ou égale à 2. Il me faut donc montrer que u+f et v+f sont linéairement indépendants pour trouver que la dimension de G' vaut 2. Soient a et b des scalaires, j'ai posé , et il me faut montrer que a = b = 0, mais je n'ai aucune idée de comment procéder à partir de .

Merci beaucoup !
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[invitea6f35777]

salut

Si a+b=0 tu sais faire
Si alors

alors mais on sait que on a donc et comme F et G sont suuplémentaires . On a donc et dans ce cas c'est facile de conclure.

[invitef934eafc]

Merci énormément ! C'est très logique

[invitef934eafc]

Et pour montrer que les sous-espaces sont supplémentaires, ils reste à montrer que l'intersection de F et G' est le vecteur nul, ou bien que F et G' engendrent E, n'est-ce pas ? Comment pourrais-je m'y prendre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf48d29f]

Bonjour.
Il ne vous faut pas montrer l'un ou l'autre, mais bien les deux. Mais si vous montrez que F et G' sont en somme directe (intersection vide) comme dimF=n-2 et dimG'=2 vous savez que leur somme engendre un espace vectoriel de dimension n.
Et des espaces de dimension n inclus dans E, il n'y en a pas 50.

Pour montrer que F et G' sont en somme directe une base de F peut être utile (f, f₂, f₃, ..., f_n-2). Ensuite vous choisissez x dans F et G', vous pouvez l'exprimer dans votre base de F et dans celle de G'. Avec une petite manip toute simple vous pourrez alors montrer que tous les coefficients sont nuls et donc que x=0.

[invitef934eafc]

Pour montrer que F et G' sont en somme directe une base de F peut être utile (f, f₂, f₃, ..., f_n-2). Ensuite vous choisissez x dans F et G', vous pouvez l'exprimer dans votre base de F et dans celle de G'. Avec une petite manip toute simple vous pourrez alors montrer que tous les coefficients sont nuls et donc que x=0.

Merci pour la réponse rapide ! Je comprend ce que tu expliques, mais on dirait que j'ai beaucoup de problèmes à trouver cette manipulation... Comment prouver que les coefficients sont tous nuls ??

[invitef934eafc]

Toujours pas compris...

[invitef934eafc]

Toujours pas compris...

[inviteaf1870ed]

SI x est dans l'intersection de F et G', il est à la fois dans F et dans G'.
Comme élément de F il s'écrit x=af1+bf2+....où les fi forment une base de F.
Comme élément de G' il s'écrit x=p(u+f)+q(v+f)=pu+qv+(p+q)f

En écrivant l'égalité entre les deux expressions, tu peux mettre d'un côté les termes en u et v, et de l'autre les termes en f et fi.

Comme G et F sont en somme directe, que peut on en conclure ?