vecteurs engendrant le même sous-espace vectoriel

[invite613a4e44]

Que peut-on dire de deux espaces engendrant le même sous-espace vectoriel? Ils sont colinéaires? Mais pourquoi?
Si ces deux vecteurs sont des fonctions, elles sont proportionnelles mais pourquoi?

Il y a un théorème qui dit que si F est un sous-espace vectoriel de G et que dim F= dim G alors F=G.
Mais si on a dim E=dim H avec E et H deux ensembles de vecteurs qui engendrent le même sous-espace vectoriel et E c H, peut-on également en conclure que E=H? Si oui, est-ce parce que H, du fait de l'inclusion, est un sous-espace vectoriel de E? Mais comment le déduit-on de l'inclusion?
Si non, est-ce parce qu'il suffit d'avoir dim F=dim G et F c G pour avoir F=G ou l'hypothèse du sous-espace vectoriel est-elle nécessaire?
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[invite2ec8adb6]

je n'ai pas tout compris
tu demandes pourquoi deux fonctions f et g engendrant le même espace sont colinéaires?
mais tout simplement parce que Vect(f)=(a.f, a E R)
Vect(g)=(a.g, a E R)
comme f E Vect(f)=vect(g), il existe a E R tel que f=a.g

quant au reste, tu ne peux pas parler de dimF et de dimG si tu n'as pas vérifié que F et G étaient des sous-espaces vectoriels

[invite613a4e44]

D'accord! Merci bcp. Par contre, tu n'as pas compris ma deuxième question mais je comprends que ça ne te semble pas très clair.
Tu sais, il y a un théorème qui dit que "Si G est un sous-espace vectoriel de dim finie et F un sous-espace vectoriel de G et si dim F=dim G alors F=G" Mais est-ce que si on ne sait pas que F est un sous-espace vectoriel de G, qu'on sait juste que F c G on peut tirer l'égalité des deux espaces vectoriels de l'égalité des dimensions?

[erik]

Mais est-ce que si on ne sait pas que F est un sous-espace vectoriel de G, qu'on sait juste que F c G on peut tirer l'égalité des deux espaces vectoriels de l'égalité des dimensions?

Pour pouvoir parler de la dimension de F il faut avoir montré que F est un espace vectoriel.
Donc si F est un espace vectoriel et que F c G, F est un sev de G.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite613a4e44]

Ah d'accord, excusez-moi, c'est moi qui n'avais pas compris.

[invite613a4e44]

Bon j'ai encore quelques interrogations à vous soumettre sur les espaces vectoriels.
1) si deux espaces vectoriels ont une même base, est-ce qu'ils sont égaux?
2) des vecteurs peuvent être des réels et plus généralement des scalaires ou pas?
3) est-ce qu'un espace vectoriel a une infinité de sous-espaces vectoriels?
4) est-ce que certaines familles libres, ou génératrices d'un espace vectoriel sont des sous-espaces vectoriels de cet espace vectoriel ou JAMAIS?
5) si f est une application linéaire, est-ce que f(e1,...,en)=(f(e1),...,f(en)) et si oui, pourquoi?
(comme ça tout le monde sera content, je n'ai utilisé qu'un seul fil)

[invite613a4e44]

Pouvez-vous me répondre, svp?

[invite88ef51f0]

Salut,

1) si deux espaces vectoriels ont une même base, est-ce qu'ils sont égaux?

Oui

2) des vecteurs peuvent être des réels et plus généralement des scalaires ou pas?

Ca peut être des scalaires, ou beaucoup d'autres choses (fonctions, ...)

3) est-ce qu'un espace vectoriel a une infinité de sous-espaces vectoriels?

Pas en général. En pratique, je dirais que oui si ton espace vectoriel est de dimension supérieure à 2

4) est-ce que certaines familles libres, ou génératrices d'un espace vectoriel sont des sous-espaces vectoriels de cet espace vectoriel ou JAMAIS?

Euh... si tu veux que ta famille soit un espace vectoriel, il faut qu'elle soit stable par le produit par un scalaire. Donc en pratique, ta famille est alors ton espace en entier (et dans ce cas, elle n'est pas libre, mais est génératrice).

5) si f est une application linéaire, est-ce que f(e1,...,en)=(f(e1),...,f(en)) et si oui, pourquoi?

Non... et pour cause ça n'a aucun sens ! Dans le premier membre f est une fonction de n variables, dans le deuxième, f est une fonction d'une seule variable.

[invitec314d025]

Ca peut être des scalaires, ou beaucoup d'autres choses (fonctions, ...)

Mouais faut faire gaffe quand même. On définit un espace vectoriel sur un corps qu'on appelle le corps des scalaires. Il n'y a que dans des cas particuliers que l'on peut "assimiler" les uns aux autres (pour des espaces vectoriels de dimension 1) et encore les fonctions sont différentes.

Pas en général. En pratique, je dirais que oui si ton espace vectoriel est de dimension supérieure à 2

Pour qu'il n'y ait pas d'ambiguité, c'est supérieure ou égale à 2 bien sûr.

[invite613a4e44]

1) est-ce parce qu'ils sont engendrés par une même famille?

Au risque de passer encore une fois pour une ignare totale, peux-tu me réexpliquer précisément ce que sont des scalaires?

5) mais alors qu'est-ce qu'on peut dire de f(e1,...,en)?

[invitec314d025]

Au risque de passer encore une fois pour une ignare totale, peux-tu me réexpliquer précisément ce que sont des scalaires?

Il faut que tu revoies la définition d'un espace vectoriel. Tu as deux ensembles généralement différents, celui des scalaires (muni d'une structure de corps) et celui des vecteurs (muni d'une structure de groupe) et tu as une opération dite externe qui te permet de multiplier un vecteur par un scalaire, ce qui donne un vecteur.
Le corps des scalaires c'est généralement R ou C, mais ce n'est pas une obligation.

5) mais alors qu'est-ce qu'on peut dire de f(e1,...,en)?[/QUOTE]
Qu'elle est linéaire puisque c'est ton hypothèse, à part ça je ne vois pas. Mais fais attention à tes notations, ici on a l'impression que e1 est un vecteur alors que le vecteur est (e1;e2;....;en) (donc chaque ei est ici un vecteur)
On note souvent les bases (e1;e2; .....;en) mais alors chaque ei est un vecteur pas un scalaire. Donc tes notations portent pas mal à confusion.

[invite613a4e44]

On ne parle donc d'ensemble de scalaires que dans le cadre d'espaces vectoriels?

5) je ne comprends pas bien ta remarque tu dis que le vecteur est (e1;e2;...;en) mais en même temps que chaque ei est un vecteur (?)
Finalement quand on a un n-uplet (un seul vecteur) on met des virgules et quand on a n vecteurs des points virgules? Dans le cas du n-uplet: e1,...en sont des scalaires??

[invitec314d025]

On ne parle donc d'ensemble de scalaires que dans le cadre d'espaces vectoriels?

5) je ne comprends pas bien ta remarque tu dis que le vecteur est (e1;e2;...;en) mais en même temps que chaque ei est un vecteur (?)
Finalement quand on a un n-uplet (un seul vecteur) on met des virgules et quand on a n vecteurs des points virgules? Dans le cas du n-uplet: e1,...en sont des scalaires??

Normal que tu trouves ça ambigu. Un coup j'ai utilisé tes notations, l'autre coup les notations que quasiment tout le monde utilise. Même si tu as tout fait le droit d'appeler un n-uplet (e1;e2;....;en) où chaque ei est un scalaire, tu risques de confondre avec les bases que l'on note souvent (e1; ....; en) (et donc ici chaque ei est un vecteur). Ca n'a rien avoir avec des virgules ou point-virgule, il faut juste savoir si les éléments de ta famille sont des scalaires ou des vecteurs.