Espace vectoriel des vecteurs localisés en Po

[Bleyblue]

Bonjour,

Dites lorsque j'entends parler de l'espace vectoriel (j'ai pris 3 mais je pourrais prendre n plus généralement) des vecteurs de localisés en Po = (xo,yo,zo) qu'est ce que cela veut dire exactement si je dois ratacher ce concept à la théorie des espaces vectoriels ?

Simplement que le vecteur neutre n'est plus (0,0,0) (comme dans ) mais (xo,yo,zo) ?

merci
-----

[Cyp]

Perso j'en ai jamais entendu parler mais c'est peut être (surment !) un manque de connaissances. Est-ce qu'il ne s'agirait plutôt pas d'un sous espace affine de IR^3 d'origine P0 ? (enfin dans ce cas il manque la direction du sous espace mais bon...) ?

[Bleyblue]

Je ne sais pas non plus, ça me semble bizarre.

Enfin ce n'est pas bien grave ...

merci

[martini_bird]

Salut,

je pense aussi qu'il s'agit d'une notion affine. Mais ça me paraît étrange comme langage car il existe une notion de localisation d'un anneau en une partie multiplicative qui n'a pas de rapport (en tout cas je n'en vois pas).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

En tout cas dans les notes de cours que j'ai ici ils en parlent bien comme d'un espace vectoriel et ça me perturbe (notez qu'en passant les notes me semblent assez mal fichues )

Voici un passage :

...
Formons l'espace vectoriel réel de tous les vecteurs de localisés en uo que nous notons . Soit le vecteur constituant la base canonique de , on obtient l'application :



ou


est l'espace vectoriel réel formé par les vecteurs de localisés en f(uo)

...

merci

[GrisBleu]

Salut

Ca serait pas l espace tangent ? c est effectivement un espace vectoriel attache a chaque point. Ie a chaque point tu as un espace vectoriel de dimension n associe. Mais attention, cet espace n est pas dans le meme que ton point . Dans le cas de c est confus (vu qu ils sont isomorphes). Ca le devient moins quand l espace vit n est plus un espace vectoriel (mais un espace courbe par exemple). Dans ce cas, on comprend bien l expression espace tangent (comme l hyper plan tangent a ton espace courbe en ton point)

En fait, on application me semble etre le push du vecteur de base de l espace tangent a ta variete de depart (une droite) en u0 vers l espace tangent a ta variete en f(u0). La ou c est dur a comprendre c est qu espace tangent et vareiet ont la meme tete.... pas facile a comprendre j ai les memes problemes au debut

Pour conclure, retient que l espace tangent est defini en un seul point (ce n est plus une fleche d un point de Rn vers un autre comme dans un espace affine)

++

ps: j esperes ne pas avoir dit trop de betise

[martini_bird]

Salut,

Ca serait pas l espace tangent ?

Ca y ressemble fortement. Mais pourquoi parler de localisé ? C'est un peu tordu (et inadapté) comme vocabulaire.

[GrisBleu]

Salut martini

L espace tangent est localise en un point, variete plate ou pas (meme si dans le cas de Rn ca pose probleme). Par contre le s de "l'espace vectoriel réel formé par les vecteurs de Rn localisés en f(uo)" est pour le coup maladroit.

Un exemple Bleyblue: si tu as un champs electro magnetique. A chaque point de R3 (R4 en relativite) est associe un vecteur. Ce vecteur depend du champs, des sources, du milieu, blabla. Par contre, il vit dans un espace qui depend du point considere. Si tu changes de point, le meme champs voit sa valeur change. C est pourquoi on ecrit que le evecteur depend du point. Apres, dire qu il est localise en ce point... question de niveau de l auditoire (on va pas faire de la geometrie differentielle en L1 par exemple)

++

[martini_bird]

L espace tangent est localise en un point, variete plate ou pas.

Vivi je pense savoir ce qu'est un fibré.

Mais je trouve l'emploi du mot localisé un peu capillotracté : localiser, c'est rendre local. Or ici l'espace tangent est déjà une notion locale. Si tu compares avec la localisation d'un anneau en un idéal premier, on part bien de quelque chose de global pour s'intéresser au local.

Enfin bref, il est vrai néanmoins que certaines entorses sont parfois nécessaires en matière de pédagogie...

Cordialement.

[invité576543]

Bonjour,

Si c'est bien "l'espace tangent", c'est le vocabulaire usuel qui est tordu et qui entraîne une difficulté pour comprendre le concept la première fois qu'on le rencontre.

L'expression "espace vectoriel" est totalement ambiguë dans ce contexte. Il faut commencer par "oublier" la notion d'espace vectoriel comme géométrique, c'est à dire comme classe de bipoints (une telle approche est très restrictive, elle est spécifique aux espaces euclidiens). C'est plus clair si on prend "espace vectoriel" au sens de structure, ensemble d'objets fermé par addition interne et multiplication externe par R ou C.

Maintenant, en partant d'un espace affine (ou d'une variété), on peut définir en tout point de l'espace affine l'ensemble des tangentes, c'est à dire l'ensemble de toutes les tangentes aux courbes continues dérivables qui passent par ce point (courbes paramétrées, qui a un paramètre réel associent un point de l'espace affine). Cet ensemble des tangentes a une structure d'espace vectoriel.

Pour le voir, il faut oublier les bipoints, et penser à toutes les courbes qui passent par le point, et penser leurs tangentes comme des directions qui irradient autour du point, avec un module indiquant à quelle "vitesse" le paramètre fait "passer par le point".

Malheureusement, on appelle les éléments de l'espace des tangentes des "vecteurs", ce qui rend les choses peu claires (par confusion avec la notion d'espace vectoriel comme structure). Et encore plus malheureusement, on commence par apprendre cette idée dans le cas euclidien, cas dans lequel il y a un isomorphisme très spécial qui permet de relier les espaces de tangentes de deux points différents (grace à la notion de "parallèle" qui est spécifique aux espaces euclidiens).

Parlons d'isomorphisme maintenant. Isomorphisme veut dire "même structure", et il faut donc préciser ladite structure. Ici, les espaces de tangentes en deux points différents sont isomorphes pour la structure d'espace vectoriel. Mais c'est trivial, parce que deux ensembles munis d'une structure d'espace vectoriel et de dimension finie sont isomorphes dès que la dimension est la même. Donc, même en espace courbe comme en espace plat, les espaces de tangentes sont isomorphes! La particularité des espaces euclidiens (plats plus généralement) n'est donc pas qu'il y ait un isomorphisme entre espaces des tangentes, mais qu'il existe un ensemble d'isomorphismes (ensemble paramétré par les paires de points) tellement naturels qu'on ne les note pas et qu'on "assimile" les différents espaces de tangentes comme un seul espace. Il faut comprendre cette assimilation pour réaliser que les espaces de tangentes "localisés" en chaque point sont en fait des espaces distincts.

Enfin, un dernier point. Parler de comme espace affine ou vectoriel est souvent un abus de langage, et il faut donc se méfier systématiquement de ces cas. Un abus peut être de confondre un espace affine ou vectoriel bien particulier avec (l'existence d'isomorphismes permet cet abus) (1), et un autre de ne voir que comme espace euclidien. La difficulté ici est de réaliser que la notion de "euclidien" est lié à une métrique, et que deux espaces munis d'une structure d'espace vectoriel de même dimension sont isomorphes au sens d'espace vectoriel, mais pas nécessairement au sens d'espaces métriques (on peut avoir un isomorphisme qui respecte la linéarité sans respecter la métrique, c'est à dire la valeur des angles).

En résumé, pour comprendre le concept, il faut commencer par prendre du recul par rapport au vocabulaire, ensuite oublier (temporairement!) les particularités de muni de la métrique usuelle, et penser aux tangentes des courbes passant par un point donné...

En espérant que cela aide (?),

Cordialement,

(1) Plus la confusion entre structure d'espace affine et d'espace vectoriel, confusion difficile à éviter quand on prend comme exemple à la fois d'espace vectoriel et d'espace affine!

[GrisBleu]

Vivi je pense savoir ce qu'est un fibré.

Desole, meprise sur ton expression

Enfin bref, il est vrai néanmoins que certaines entorses sont parfois nécessaires en matière de pédagogie...

J'ai eu un jour un cours - optionnel - de systeme non lineaire en ecole d inge (la je ne savais pas ce qu etait une variete...) et le prof est parti directement avec des histoires d espace tangent. Devant nos mines deconfites il a insiste sur le fait que c etait localise en chaque point... et ca nous a suffit pour le reste du cours (qui ne faisiat que passer en revue les resultats a connaitre et pas les demos).

Je pense que maintenant j apprecierait plus les concepts

[martini_bird]

Malheureusement, on appelle les éléments de l'espace des tangentes des "vecteurs", ce qui rend les choses peu claires (par confusion avec la notion d'espace vectoriel comme structure).

Il me semble que les espaces tangents sont abordés après l'algèbre linéaire où le « vecteur » a été vu et manipulé dans des contextes très différents (*). Ce qui serait plus à déplorer, c'est la quasi-absence des raisonnements géométriques dans l'enseignement.

Et encore plus malheureusement, on commence par apprendre cette idée dans le cas euclidien (...)

Vouloir faire passer le fibré tangent dans le cas euclidien est un non-sens pour toutes les raisons que tu as évoquées : les profs seraient-ils aveugles et anti-pédagogiques à ce point ?

Quant à la terminologie, lorsque l'on parle d'espace tangent en un point, il me semble que l'on parle bien de quelque chose qui « sort » du cadre ambiant.

Mais bon, je crois que là-dessus on pourrait discuter longtemps (et de préférence autour d'une bière sur un comptoir ).

Cordialement.

(*) D'ailleurs, mon premier contact s'est fait par les dérivées dites directionnelles.

[martini_bird]

J'ai eu un jour un cours - optionnel - de systeme non lineaire en ecole d inge (la je ne savais pas ce qu etait une variete...) et le prof est parti directement avec des histoires d espace tangent. Devant nos mines deconfites il a insiste sur le fait que c etait localise en chaque point... et ca nous a suffit pour le reste du cours (qui ne faisiat que passer en revue les resultats a connaitre et pas les demos).

Encore une fois, pas assez de géométrie dans les cursus ordinaires. C'est aberrant mais ça perdure... Je dis ça surtout car je souffre de cette carence.

[invité576543]

[HS et café de comptoir]

Vouloir faire passer le fibré tangent dans le cas euclidien est un non-sens pour toutes les raisons que tu as évoquées : les profs seraient-ils aveugles et anti-pédagogiques à ce point ?

Pas bien clair dans quel sens tu argues... Mais sinon, mon point est plus subtil que de dire que les profs sont TOUS aveugles ou anti-pédagogiques.

a) La présentation initiale des concepts en géométrie n'est pas adaptée à ceux qui feront plus tard de la géométrie différentielle sur des variétés quelconque. Mais c'est NORMAL parce que ceux-ci sont une très faible minorité. La pédagogie initiale se trouve justifiée par un argument d'efficacité pour la majorité.

b) Les présentations de géométrie différentielle sur des variétés quelconques font rarement la "déconstruction" nécessaire de l'enseignement initial. Je ne sais pas si on peut alors parler d'aveuglement (mais c'est alors un aveuglement quand aux difficultés des élèves, pas quand aux concepts mathématiques eux-mêmes), mais on peut questionner la pédagogie...

Mon texte visait à aider à comprendre la nécessité de cette déconstruction, le besoin de prendre du recul sur l'enseignement initial (ici sur les notions de vecteur, d'espace vectoriel, ...) pour pouvoir aller plus loin, pas d'attaquer ledit enseignement initial.

Cordialement,

[GrisBleu]

Salut

A propos de la deconstruction necessaire (y a des fans de Derrida ici ?? ), il est vrai que la geometrie differentielle est presente dans les polys de maths de maniere tres abstraites sans quasi aucune figure et helas sans lien clairs avec ce qu on connait deja. C'est pour ca que j'ai mieux compris (au debut) avec des polys de RG (ptet que je n ai rpas recupere les bons polys)

Pour revenir a la question, as tu mieux compris Byeblue ?

PS: y a un lien qui a traine il n y a pas longtemps sur le forum pointant vers un papier expliquant relativement bien ce qu etait "intuitivement" les tenseurs de courbures. Vraiment bien cet article

[martini_bird]

[mode=HS]

La pédagogie initiale se trouve justifiée par un argument d'efficacité pour la majorité.

Je veux bien, mais sans parler de variétés, c'est un fait que la géométrie est trop peu présente dans l'enseignement (à commencer par le collège et le lycée où la géométrie dans l'espace est bâclée en fin d'année...). Ce qui est regrettable à mon sens, ce n'est pas l'absence des contenus, mais celle des images mentales et des méthodes liées à cette branche (fondatrice) des mathématiques.

Les présentations de géométrie différentielle sur des variétés quelconques font rarement la "déconstruction" nécessaire de l'enseignement initial.

Ce n'est hélàs pas propre à la géométrie : il y a des automatismes que l'on acquiert avec l'expérience et des questions apparaissent complètement triviales (vu récemment : démontrer que n!>n² - irait-on démontrer ça ? ). Le professeur doit être en effet le premier à déconstruire et dévisser ses connaissances afin de cibler les obstacles didactiques et pédagogiques.

comprendre la nécessité de cette déconstruction, le besoin de prendre du recul sur l'enseignement initial (ici sur les notions de vecteur, d'espace vectoriel, ...) pour pouvoir aller plus loin, pas d'attaquer ledit enseignement initial.

Tout à fait d'accord avec celà, même si mon opinion n'a pas grande valeur.

Cordialement.

[Bleyblue]

Bonjour à tous,

J'ai un certain nombre de remarques importantes à faire :

n°1)
Moi je n'ai reçu qu'une seule définition d'espace vectoriel sur un corps C et des notions associées (c'est à dire : le concept de partie libre, de partie génératrice, de base, de dimension, etc. ..).
De même je n'ai reçu qu'une seule définition d'espace vectoriel euclidien (ou hermitien dans le cas complexe)

Donc lorsqu'on me parle (par exemple) de :

- Vecteur localisé d'un espace vectoriel -> je ne sais pas ce que c'est (jamais reçu de définition dans le cadre des e.v)

- Direction d'un vecteur -> je ne sais pas ce que c'est (jamais reçu de définition dans le cadre des e.v)

Pour moi un vecteur c'est juste un élément d'un ensemble satisfaisant les axiomes intervenants dans la définition d'un espace vectoriel, que cet élément soit un point, une vache ou une fonction de ça ne change rien à l'histoire. C'est un vecteur vu que l'ensemble qui le contient satisfait les axiomes d'un e.v

Dites moi, j'ai raison ? Ou bien je suis encore à côté de la plaque ?

n°2) Avant de commencer à travailler avec des e.v, je travaillais (sous entendut : dans le cadre de mes cours) avec des e.v de l'espace E³ (ou E²), c'est à dire les points de l'espace à trois dimensions dans lequel on commence à faire de la géométrie euclidienne étant enfant.
Dans cet espace la, et dans celui la uniquement, j'ai reçu la définition d'un vecteur libre et d'un vecteur localisé et je ne comprends pas certaines auteurs qui s'obstinent à parler de vecteurs localisés dans .
Même si ce dernier est isomorphe à E³ ce n'est pas le même espace non ?

n°3)

Enfin bref, il est vrai néanmoins que certaines entorses sont parfois nécessaires en matière de pédagogie...

Moi je ne suis pas d'accord, à force de vouloir faire des entorses et des simplifications on rend le cours incompréhensible.
J'en veux pour preuve le cours d'analyse que j'ai ici devant moi (destiné à des étudiants pas forcément doué en math, et donc à priori plus simple à comprendre qu'un cours d'analyse pur et dur), durant je ne sais combien de temps j'ai essayé de comprendre ce que c'était qu'une dérivée directionnelle, en vain
Je me suis finalement résigné à aller voir dans le cours d'analyse des étudiants en physique et en mathématiques (cours d'analyse énorme et bien plus poussé que le précédent).
Au bout de cinq minutes j'avais compris

Ce n'est qu'un exemple mais je suis sûr que je pourrais trouver d'autres sujets où, à force d'essayer de simplifier, l'auteur complique tout.

Pour revenir a la question, as tu mieux compris Byeblue ?

Eh bien non (c.f le point 1) et 2))

merci

[invite8b04eba7]

Salut !

Un petit exemple pour te faire comprendre la notion d'espace tangent. Je me place dans le plan reel R² et je considere le cercle de centre 0 et de rayon 1. C'est l'ensemble des points (x,y) verifiants

A chaque point de ce cercle (x₀,y₀), je peux associer la droite tangente a ce point. Son equation est donnee en differenciant l'egalite qui definit le cercle :

L'espace tangent en tant qu'espace vectoriel, c'est la droite que l'on considere comme espace vectoriel, c'est a dire que l'on oublie que c'est une droite affine de R², mais l'on considere que l'origine est place en (x₀,y₀). Donc cette droite c'est rien d'autre que R.

Mais le probleme c'est que si on ne garde que ces informations, ca ne sert a rien car l'espace tangent en 1 c'est le meme qu'en i. Ce qui est important, c'est la notion de fibre tangent, qui rend compte des changements d'espace tangent quand on change de point. Ce qu'il faut garder comme informations, c'est
- le point de base
- la facon dont la droite tangente est incluse dans le plan (autrement dit son coefficient directeur).

On note donc R_{(x_0,y_0)} la droite vectorielle tangente en (x_0,y_0).

Maintenant, si j'ai une application f du cercle dans lui-meme qui est differentiable (par exemple une application differentiable dans un voisinage du cercle qui envoie le cercle sur lui-meme), alors sa differentielle en le point (x₀,y₀) est une application lineaire entre les espaces vectoriels R_{(x_0,y_0)} et R_{f(x_0,y_0)}.

Maintenant, si j'ai un ouvert U de Rⁿ, les espaces tangents en tout point de l'ouvert sont egaux a Rⁿ entier, donc ici il n'y a pas d'ambiguite, et pour ca que la differentielle en un point d'une application de U dans U c'est juste une application lineaire de Rⁿ dans Rⁿ.

Voila, j'espere que ca t'a un peu eclaire. N'oublie pas que quand tu fais de la geometrie, tes structures algebriques sont intrinseques pour leur structure mais pas pour l'espace ambiant : une droite de R² c'est une droite mais c'est pas la meme qu'une autre droite, qui est pourtant une droite aussi... bon j'espere que ca ne t'embrouille pas.

[Bleyblue]

D'accord, pour la notion d'espace tangeant ça passe.

Mais le point 1) et 2) de mon message précédent me perturbent touours ...

merci

[invité576543]

J'essaye...

n°1)
Moi je n'ai reçu qu'une seule définition d'espace vectoriel sur un corps C et des notions associées (c'est à dire : le concept de partie libre, de partie génératrice, de base, de dimension, etc. ..).
De même je n'ai reçu qu'une seule définition d'espace vectoriel euclidien (ou hermitien dans le cas complexe)

Pour moi un vecteur c'est juste un élément d'un ensemble satisfaisant les axiomes intervenants dans la définition d'un espace vectoriel, que cet élément soit un point, une vache ou une fonction de ça ne change rien à l'histoire. C'est un vecteur vu que l'ensemble qui le contient satisfait les axiomes d'un e.v

OK. On part de là. Ce sera vecteur, en rouge.

Donc lorsqu'on me parle (par exemple) de :

- Vecteur localisé d'un espace vectoriel -> je ne sais pas ce que c'est (jamais reçu de définition dans le cadre des e.v)

L'expression ne veut rien dire hors contexte, on est d'accord. Etant donné un espace affine On appelle vecteur, en bleu, une tangente possible d'une courbe passant par un point. Par définition, un vecteur est lié au point, il est "localisé". L'ensemble des vecteurs en un point donné forme un espace vectoriel, l'espace tangent. Un vecteur est donc un vecteur de cet ensemble.

- Direction d'un vecteur -> je ne sais pas ce que c'est (jamais reçu de définition dans le cadre des e.v)

La direction d'un vecteur est une classe d'équivalence des vecteurs colinéaires. On peut générliser cette notion à tout e.v. (classe d'équivalence de vecteurs colinéaires), mais c'est en géométrie affine que ça fait vraiment sens.

n°2) Avant de commencer à travailler avec des e.v, je travaillais (sous entendut : dans le cadre de mes cours) avec des e.v de l'espace E³ (ou E²), c'est à dire les points de l'espace à trois dimensions dans lequel on commence à faire de la géométrie euclidienne étant enfant.

C'est là qu'il faut faire attention. L'espace dans lequel on commence à faire de la géométrie euclidienne N'EST PAS . C'est abusif de le présenter comme cela, et c'est à déconstruire. C'est un espace "en lui-même" qui est isomorphe à considéré comme espace affine. Et il y a plein d'isomorphismes: choisir une base, c'est choisir un isomorphisme. Qui plus est, à cause du caractère euclidien, cet isomorphisme est formellement le même qu'avec comme espace vectoriel, ce qui ajoute à la confusion.

Dans cet espace la, et dans celui la uniquement, j'ai reçu la définition d'un vecteur libre et d'un vecteur localisé

La notion de vecteur libre est bizarre.... Classe de vecteurs, l'ensemble des classes formant un nouvel espace vectoiriel?

et je ne comprends pas certaines auteurs qui s'obstinent à parler de vecteurs localisés dans .

Parce que là, la notion d'espace affine "en lui-même" doit être comprise, cachée à cause de l'abus de langage qu'est la référence à .

Même si ce dernier est isomorphe à E³ ce n'est pas le même espace non ?

Exactement, mais la confusion est courante. A déconstruire!


Cordialement,

[invité576543]

(suite)

n°2) Avant de commencer à travailler avec des e.v, je travaillais (sous entendut : dans le cadre de mes cours) avec des e.v de l'espace E³ (ou E²), c'est à dire les points de l'espace à trois dimensions dans lequel on commence à faire de la géométrie euclidienne étant enfant.

J'ai dû mal interprété ce passage. Après relecture, ce n'est pas clair. Il me semble qu'il y a confusion entre espace affine (E³, espace affine euclidien de la géométrie) et espace vectoriel. Le "c'est à dire" laisse penser que des e.v. sont des "points de l'espace" ???

Cordialement,

[Gwyddon]

Je suis d'accord avec mmy, il y a souvent confusion entre espace affine et espace vectoriel, notamment parce que d'habitude on se sert de la représentation affine pour se faire une idée d'un espace vectoriel

Il faut savoir que dans un espace affine, lorsque l'on choisit un repère on choisit une base et une origine ; ce dernier point est souvent oublié des élèves (tant il paraît évident) et pourtant c'est sans doute l'origine de bien des confusions...

[Bleyblue]

Alors, merci bien pour vos explications

Malheureusement je ne sais pas encore ce que c'est qu'un espace affin (ou affine ?) . Dans le cadre d'une première étude des espaces vectoriels j'ai reçu la définition d'un sous espace affin :

Etant donné un espace vectoriel V, on appel sous espace affin E un translaté de sous espace vectoriel W de v :



merci

[Bleyblue]

J'ai dû mal interprété ce passage. Après relecture, ce n'est pas clair. Il me semble qu'il y a confusion entre espace affine (E3, espace affine euclidien de la géométrie) et espace vectoriel. Le "c'est à dire" laisse penser que des e.v. sont des "points de l'espace" ???

Cordialement,

Mais E³ n'est pas un espace vectoriel non ? Moi je voulais
parler de E³ comme de l'espace de la géométrie plutôt ...

merci

[invité576543]

Mais E³ n'est pas un espace vectoriel non ? Moi je voulais
parler de E³ comme de l'espace de la géométrie plutôt ...

A mon sens, quand on parle de points, de droites, de polygones, de triangles, etc. on ne parle QUE d'un espace affine. Un plan physique (une feuille de papier), c'est un espace affine. L'espace de la géométrie est un ensemble de points, un espace affine, certainement pas un espace vectoriel. (Par exemple, on ne peut pas parler de linéarité dans un espace affine, on ne peut "additionner" des points, ou des droites...)

Quand on parle de direction, de fonction linéaire, de colinéarité, de base, de produit scalaire, de norme, alors on réfère à un espace vectoriel.

Comme dit Gwyddon, un référentiel d'un espace affine euclidien, c'est une origine et des vecteurs de base. Alors que dans un espace vectoriel, on ne parle jamais d'origine.

Ta référence à un sous-espace affine d'un espace vectoriel donne une vue un peu inversée. Effectivement, on peut construire des espaces affines à partir d'espaces vectoriels, mais la perception je dirais "physique" est l'inverse: l'espace de la géométrie est un espace affine, et son (ses) espace tangent est un espace vectoriel.

La notion d'espace tangent demande, à mon avis, de bien voir la notion d'espace affine, parce que la notion de courbe paramétrée est à voir comme une fonction de R vers des points, surtout pas vers des vecteurs.

Cordialement,

[Bleyblue]

Tiens pourquoi mettez-vous un 'e' à affin ?

Mais sinon je ne sais touours pas ce que c'est qu'un espace affin. Il faudrait une définition précise sinon on reste dans le vague, non ?

En tout cas merci pour ta grosse explication, c'est éclairant (mais ça serait mieux si je savais ce que c'était qu'un espace affin)

merci

[Gwyddon]

On met des "e" à la fin parce que c'est comme ça que ça s'écrit

affin ça n'existe pas, la bonne orthographe c'est affine.

Sinon, la définition d'un espace affine, très bien donnée dans wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_affine

[Bleyblue]

On met des "e" à la fin parce que c'est comme ça que ça s'écrit

affin ça n'existe pas, la bonne orthographe c'est affine.

ah tiens, curieux parceque dans mon cours de cette année il est écrit "sous espace affin" et non pas affine
Je me suis dit que c'était peut être une faute mais j'ai été vérifier dans un autre cours d'algèbre linéaire et c'est de nouveau affin.
Ca c'est la Belgique

merci pour le liens

[invité576543]

ah tiens, curieux parceque dans mon cours de cette année il est écrit "sous espace affin" et non pas affine
Je me suis dit que c'était peut être une faute mais j'ai été vérifier dans un autre cours d'algèbre linéaire et c'est de nouveau affin.
Ca c'est la Belgique

Et ça rime avec faim?

[Bleyblue]

Ca n'a pas l'aire particulièrement facile à assimiler comme notion ...

Et ça rime avec faim?

oui, et les prof disent "sous espace a-faim"