Espace vectoriel des carrés magiques

[Bleyblue]

Bonjour,

Un carré magique n*n est une matrice carrée n*n telle que la somme des éléments d'une des ligne égale la somme des éléments d'une des colonne égale la somme des éléments d'une des deux diagonales et cela forme un espace vectoriel sur le corps fournissant les scalaires (prenons et n = 3 pour simplifier)

Auriez vous une idée de la dimension d'un tel espace vectoriel ? C'est de toute façon inférieur à n² vu qu'il s'agit d'un sous espace des matrices n * n qui est isomorphe à

J'ai essayé d'y réfléchire un coup mais je ne suis pas arrivé à trouver une base.

Savez-vous s'il est possible d'en trouver une ? Si c'est facile à faire ?

merci
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[inviteae1ed006]

ceci pourra peut être t'aider...

[invite35452583]

Bonjour,
Bleyblue ne lit que les parties en gras si tu veux juste une idée pour aborder le pb, sinon le pb est entièrement résolu.
si on pose :
Si : somme des éléments de la i-ème ligne
S'i : somme des éléments de la i-ème colonne
Tj : somme des éléments de la j-ème diagonale (on les numérote comme on veut)
les carrés magiques sont les matrices appartenant à l'intersection des noyaux des applications linéaires
Si-S1 1<i<=n (il y en a n-1)
S'i-S1 1<=i<=n (il y en a n)
Ti-S1 i=1 ou 2 (il y en a 2)
Indépendance de ces 2n+1 appl. lin.?
l'application linéaire donnant la valeur du coeff (i,j)
En S1 et S'j=>coeff opposés (j distinct de i)
=>coeff en Si égaux et opposés à ceux (égaux) des S'j
=>somme des Si+somme des S'j=0
=>coeff en Tj=0
Il y a une seule possibilité : coeff en Si égaux et opposés à ceux (égaux) des S'j
Ces 2n+1 engendrent un e.v. des formes linéaires de l'ev des matrices carrées de dimension 2n.
Dim matrices magiques=n²-2n.

EDIT : grillé par Tize

[Bleyblue]

Ouhhhh, c'est amusant comme bazard ça

Merci bien !

[A voir en vidéo sur Futura]