Une méthode pour remplir les carrés magiques

[inviteabb91e99]

J'ai trouvé une méthode pour remplir les carrés magiques. Alors je ne sais pas ce qu'évoque pour vous un carré magique. Pour moi, c'est un carré de trois cases sur trois dans lequel on doit inscrire des nombres allant de zéro à neuf et le résultat l'addition des trois nombres de chaque ligne et chaque colonne doit toujours être le même.
voici un exemple pour un carré magique dont le résultat doit être 14.
455
554
545

voici un deuxième exemple pour le résultat 18
855
558
585

Lorsque j'ai vu ces deux résultats, cela m'a sauté aux yeux. Il y a une diagonale(555 d'en bas à gauche à en haut à droite) et deux triangles isocèles(888 et 555). Vous pouvez essayer cela marche à tous les coups. Si on veut obtenir 19 il suffit d'ajouter 1 à l'un des triangles isocèle.

En fait la découverte de cette méthode, est assez fortuite. J'allais prendre le train et je n'avais rien à faire alors j'ai arraché un bout de journal surlequel il y avait un carré magique. Je l'ai résolu en dix secondes. Le plus long a été de faire les additions. Sur le coups je me suis dit que c'était un coup de chance parce que ma solution n'était pas la même que celle donnée par le journal. Alors j'en ai fait un deuxième : encore dix secondes. Alors je me suis dit qu'il y avait une méthode et j'ai essayé de comprendre comment j'avais fait et en cinq minutes j'ai trouvé l'histoire de la diagonale.

Sinon je tenais à dire que j'ai obtenu un bac S et que pourtant c'est bien la première fois que j'ai pris du plaisir à faire des mathématiques. Notre système éducatif est certainement à réformer.
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[inviteaf1870ed]

Je crois que dans un carré magique les nombres doivent tous etre differents...

[invite4ef352d8]

salut !

ta définition de "caré magique" n'est pas suffisement restrictive, tu n'impose que des conditions linéaire, l'ensemble des caré magique est donc un espace vectorielle, à partir de la il suffit de trouver ca dimension et une base pou conclure.

Avec ta définition il doit etre de dimension 4 je pense. donc tu dois juste trouver 4 caré magique "indépendant" (ie aucun des 4 n'est combinaison des 3 précédents) et l'ensemble des caré magique sera obtenue par combinaison des t4 que tu aura trouvé.

[danyvio]

Je crois que dans un carré magique les nombres doivent tous etre differents...

Et oui !!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bonjour.
Je me suis justement intéressé hier aux matrices (ou carrés) magiques d'ordre 3.
Ma définition est: la somme des lignes, des colonnes et des diagonales est la même.

J'ai remarqué quelques résultats intéressants: le nombre du centre du carré vaut toujours la somme divisée par 3.

Ensuite, on montre qu'une matrice antisymétrique magique est multiple d'une matrice magique simple.
Une matrice symétrique magique est combinaison linéaire de deux matrices magiques simples.

Et par la décomposition des matrices en matrice antisym+ matrice sym (et en remarquant que la transposée d'une matrice magique est magique), on en arrive au fait que l'espace des matrices magiques d'ordre 3 est de dimension 3.

En résumé, on peut trouver 3 matrices qui génèrent tous les carrés magiques à 9 cases.
Je pourrai fournir ces matrices si quelqu'un est curieux.


Cordialement.

[invite986312212]

(...), on en arrive au fait que l'espace des matrices magiques d'ordre 3 est de dimension 3.

mais est-ce un sous-espace vectoriel? non car on veut des matrices entières. Mais je crois que ce n'est même pas un sous-groupe additif, parce qu'on veut tous les nombres distincts, et même si la somme de deux carrés magiques satisfait aux conditions sur les sommes, on n'aura pas nécessairement des nombres distincts.

[invitedf667161]

Le coup des nombres distincts, ça m'étonne un peu, ça fait un peu restricitf et très Sudoku non ?

[invitec053041c]

mais est-ce un sous-espace vectoriel? non car on veut des matrices entières.

Nous n'utilisons pas la même définition de matrice magique. Pour moi c'est: la somme ligne/colonne/diagonale est constante. Et je n'ai imposé aucune contrainte sur la nature des coefficients, ce sont simplemet des scalaires.
Après si on ne s'intéresse qu'aux coefficients entiers, il suffit de prendre les combinaisons linéaires avec scalaires entiers il me semble. (les trois matrices dont il est question ont des coeff entiers)

[invite986312212]

Le coup des nombres distincts, ça m'étonne un peu, ça fait un peu restricitf et très Sudoku non ?

il me semble que c'est même les nombres 1,2,..,n^2 (les Sudoku c'est plutôt des carrés latins, avec une contrainte supplémentaire (les blocs 3x3)).

[invite986312212]

c'est le cas du carré magique dessiné par Dürer

[invite35452583]

Pour les 3x3, on a un noyau (celui de la somme de tous les termes) qui est de rang 2 dont une "base" est :

La 1ère est symétrique ou anti-symétrique par rapport au centre et aux deux diagonales, la seconde par rapport au centre et aux deux médianes.
Et, la matrice symétrique par rapport au groupe D8 :
complète la "base" du Z-module.
En effet, avec la 1ère on se ramène au noyau tout en restant dans le Z-module.
Puis, comme en additionnant les termes des 4 lignes passant par le centre on a somme de tous les termes + 3 celui du milieu=4 x somme commune, on a centre=somme commune/3 et dans le noyau, centre=0.
Ceci fournit pour le noyau 4 égalités immédiates entre les coefficients on obtient comme matrice générale :

Il ne reste plus que les deux équations a+b+c=0 et a+d-c=0. C'est bien un Z-module de rang 2.
La 1ère type de symétrie impose c=0, b=d=-a, la seconde a=0, d=-b=c

Maintenant une matrice quasi-magique (les termes peuvent encore être égaux) est totalement magique (je n'attribue donc pas le terme "magique" ) que si sa projection le long de la troisième matrice l'est.
pour cela il faut et il suffit que 0, a, c, a+c et a-c soient distincts ce qui laisse encore beaucoup de place.

[hammadiashraf]

Effectivement et en voici un exemple:
je ne l'ai pas fait par logique numérique seulement mais surtout par logique géométrique. Et si vous voyez que ceci parait être ringard, dîtes-le moi pour l'oublier.