Propriété fondamentale de la distribution de Dirac

[zak.benslimane]

Je dois démontrer la propriété connue de la distribution de dirac:
intégrale de -00 à +00 ( delta(x).f(x)dx) = f(0)
on donne delta(x)= limite quand e->0 de (1/e * fonction_porte(x/e)

ma solution:
intégrale de -00 à +00 ( delta(x).f(x)dx) = limite e->0 de 1/e*intégrale -00 à +00 de porte(x/e) f(x)dx =lim e->0 1/e*integrale de -e/2 à +e/2 de f(x)dx
= lim e->0 (F(e/2)-F(-e/2))/e avec F la primitive de f.

Je bloque à ce seuil parce que c'est très délicat de parler de la définition de dérivée de F( qui est f) au point 0... si quelqu'un peut m'aider ça serait très gentil...
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[Tryss]

intégrale de -00 à +00 ( delta(x).f(x)dx) = f(0)

Arg, c'est de la notation de physicien ça !

Le delta de Dirac n'est pas une fonction, donc ton intégrale n'est pas une vraie intégrale. Quelle serrait la nature de l'objet ?
Quand on fait des maths et qu'on travaille avec les distributions, une notation plus sympathique est celle du crochet de dualité :

Soit T une distribution et une fonction de



Et si et seulement si , on a:




Mais sinon, et pour en revenir à ta question, en quoi est-ce délicat?

Si tu veux faire ça proprement, tu fais apparaitre des F(0) :











Et comme f est continue, F' = f


Enfin personnellement, je préfère définir comme la distribution , et voir ta question comme l'exercice suivant :

"Calculer la limite au sens des distributions (si elle existe) de la fonction quand epsilon tend vers 0 "

[zak.benslimane]

Merci infiniment (au sens de l'impulsion de Dirac).

[deyni]

Merci tryss de ces points de rigeur qu'on oublie assez souvent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Pour en revenir au "calcul de physicien" de Zak.benslimane, il n'y a aucune raison que f, fonction quelconque, ait une primitive. Cependant, si f est continue au voisinage de 0, f admet une primitive F sur un intervalle ouvert I contenant 0, et le calcul est correct pour des fonctions porte "suffisamment étroites (nulles en dehors de I). Alors F est dérivable sur I, et sa dérivée en 0, f(0) est justement donnée par la limite proposée.

Cordialement.

NB : Je suis très conscient que ce ne sont pas des "mathématiques de matheux".

[Tryss]

gg0, f est infiniment dérivable et définie sur R, c'est implicite quand on parle de distribution

[gg0]

Pas pour les physiciens !

Mais ils ne s'occupent souvent pas de ces subtilités : Les fonctions sont ce qu'il faut pour que le calcul marche.

J'adore quand tu fais une réponse d'une extrême rigueur et qu'ensuite tu te réfères à de l'implicite

Cordialement.

[zak.benslimane]

Les amis, je voulais juste un rappel sur la définition de la dérivée en un point, c'est exprimé dans la première réponse, là vous dîtes quasiment la même chose de façons différentes.
Merci tout compte fait

[Amanuensis]

J'adore quand tu fais une réponse d'une extrême rigueur et qu'ensuite tu te réfères à de l'implicite

Tryss a employé le mot "implicite" pour dire "contenu dans la notion de distribution". Ce n'est pas une hypothèse implicite qu'on ne pourrait pas faire mais qu'on estime inutile de préciser, c'est intrinsèque à la notion de distribution (comme élément du dual topologique des fonctions tests, et les fonctions tests sont par définition Cinf. Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Distrib...%A9matiques%29, espace des fonctions tests).

Ce n'est pas un manque de rigueur que de ne pas répéter tous les détails contenus dans la définition d'un terme.

[gg0]

Mais Zak n'a jamais utilisé de distributions : Le calcul qu'il présente montre bien qu'il ne s'agit pas d'un travail sur les distributions comme le font les matheux. Je lui ai répondu sur le même terrain, la partie distribution ayant déjà été traitée (*). Il faut lire les messages.

Cordialement.

(*) Justement par Tryss.

[zak.benslimane]

Dans le même esprit que l'exercice cité, pouvez vous me donner une indication (si ce n'est une démonstration ) pour démontrer le théorème de similitude, à savoir: delta (ax)= (1/|a|)b delta(x) où a est un réel différent de 0 ( en prenant compte de la définition donné à delta(x) en haut)

[gg0]

Bonjour.

A priori, un simple changement de variable . Mais avec ce genre de "calculs', la valeur absolue ne se justifie pas bien, même si on peut l'obtenir facilement en jouant sur la parité de la fonction porte.
Par contre, si la définition est donnée avec une limite à droite (e>0), là on n'a pas le choix et on doit prendre .
Tu fais du traitement du signal ? ou de l'électronique ?

Cordialement.

[zak.benslimane]

de la mécanique quantique avancée, calculs méchants utilisant ce genre de propriétés, ce paramètre a pour mon cas c'est h barre *c * alpha (constante de structure fine) elle est négative dans le cas du boson de higgs... en tout les cas ça reste du traitement de signal en fin de compte quand on passe au scintillateur capteur de particules. l'impulsion de dirac est directement utilisée, je vais essayer de travailler ce que tu m'as donné, si je bloque je referai signe Merci pour ton aide.

[gg0]

L'idée de la limite à droite me semble la seule saine car avec e<0, le Dirac "vaudrait" moins l'infini en 0 et son intégrale "passant par 0 vaudrait -1.

[zak.benslimane]

Malheureusement, je suis bloqué, je réussis pas à démontrer...

[gg0]

Ecris la définition du Dirac, fais le changement de variable que je t'ai proposé (cas e>0); ça vient tout seul.
Si tu ne vois pas, écris le calcul ici.

Cordialement.

[zak.benslimane]

c'est bon, problème résolu, j'étais hyper tendu hier que même la plus simple des choses pouvait paraitre impossible pour moi, merci pour le coup de pouce